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14 Le calcul des variations
Fig. 14.4. Construction d’une cyclo¨ ıde
14.5 Le tunnel le plus rapide
Nous abordons maintenant une g´ en´ eralisation de la brachistochrone qui pourrait, en
th´ eorie, compl` etement r´ evolutionner le domaine des transports. Supposons que nous
puissions percer l’int´ erieur de la Terre pour construire un tunnel allant d’une ville A ` a
une ville B ` a la surface de la Terre. Si on n´ eglige le frottement, un train d´ emarrant ` a
vitesse nulle de A serait attir´ e vers le centre de la Terre par la gravit´ e, acc´ el´ ererait tant
que le tunnel s’approcherait du centre de la Terre, puis d´ ec´ elererait quand le tunnel s’en
´ eloignerait et, par conversion de l’´ energie, ressortirait de ce tunnel en atteignant B ` a
vitesse nulle ! Pas besoin de combustible, pas besoin de frein ! Et nous serons encore plus
audacieux : nous dessinerons dans cette section le profil du tunnel qui sera parcouru le
plus rapidement !
Fig. 14.5. Tunnel entre les deux villes A et B
Un calcul (exercice 13) montrera que le temps de transit par ce « meilleur tunnel »
entre New York et Los Angeles est de moins de 30 minutes, contre environ cinq heures en
14 Le calcul des variations
Fig. 14.4. Construction d’une cyclo¨ ıde
14.5 Le tunnel le plus rapide
Nous abordons maintenant une g´ en´ eralisation de la brachistochrone qui pourrait, en
th´ eorie, compl` etement r´ evolutionner le domaine des transports. Supposons que nous
puissions percer l’int´ erieur de la Terre pour construire un tunnel allant d’une ville A ` a
une ville B ` a la surface de la Terre. Si on n´ eglige le frottement, un train d´ emarrant ` a
vitesse nulle de A serait attir´ e vers le centre de la Terre par la gravit´ e, acc´ el´ ererait tant
que le tunnel s’approcherait du centre de la Terre, puis d´ ec´ elererait quand le tunnel s’en
´ eloignerait et, par conversion de l’´ energie, ressortirait de ce tunnel en atteignant B ` a
vitesse nulle ! Pas besoin de combustible, pas besoin de frein ! Et nous serons encore plus
audacieux : nous dessinerons dans cette section le profil du tunnel qui sera parcouru le
plus rapidement !
Fig. 14.5. Tunnel entre les deux villes A et B
Un calcul (exercice 13) montrera que le temps de transit par ce « meilleur tunnel »
entre New York et Los Angeles est de moins de 30 minutes, contre environ cinq heures en