14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes
473
une forme simple. La substitution trigonom´ etrique suivante permet cependant d’int´ egrer
l’´ equation :
y
k − y
= tan φ.
La fonction φ est une nouvelle fonction de x. En isolant y, nous trouvons
y = k sin
2 (φ).
La d´ eriv´ ee de la nouvelle fonction x peut ˆ etre calcul´ ee ` a l’aide de la r` egle de d´ erivation
des fonctions compos´ ees :
dφ
dx
=
dφ
dy
·
dy
dx
=
1
2k(sin φ)(cos φ)
·
1
(tan φ)
=
1
2k sin
2 φ
.
Une m´ ethode usuelle pour r´ esoudre cette nouvelle ´ equation est de la r´ e´ ecrire sous la
forme
dx = 2k sin
2 φ dφ,
qui indique la relation entre les deux accroissements infinit´ esimaux dx et dφ. En trouvant
les primitives des deux membres, nous obtenons
x = 2k
sin
2 φ dφ = 2k
1 − cos 2φ
2
dφ = 2k
φ
2
−
sin 2φ
4
+ C 1 .
Nous avons choisi le point initial A de la trajectoire `
a l’origine du syst` eme de coordonn´ ees
(voir la figure 14.2). Ce choix permet de fixer la constante d’int´ egration C 1 . En A, les
deux coordonn´ ees x et y sont nulles. L’´ equation y = k sin
2 φ donne, en ce point, φ = 0
(ou un multiple entier de π). Et dans l’expression ci-dessus pour x, φ = 0 donne x = C 1 .
Il faut donc poser C 1 = 0. Finalement, en posant
k
2 = a et 2φ = θ, on obtient
x = a(θ − sin θ),
y = a(1 − cos θ).
(14.14)
Ces ´ equations sont les ´ equations param´ etriques d’une cyclo¨ ıde. Une cyclo¨ ıde est une
courbe engendr´ ee par le d´ eplacement d’un point fix´ e sur un cercle de rayon a qui roule
sans glisser sur une droite (figure 14.4).
Voici donc la meilleure piste de planche ` a roulettes, du moins celle o` u le sportif, parti
en A ` a vitesse nulle, atteindra le point B dans le temps le plus court ! La courbe lisse
trac´ ee entre les deux profils en segments de droite ` a la figure 14.2 est une cyclo¨ ıde.
La cyclo¨ ıde est une courbe bien connue des g´ eom` etres. Elle poss` ede d’autres propri´ et´ es int´ eressantes. Par exemple, Christiaan Huygens a d´ ecouvert que, dans une cuve
dont le profil est une cyclo¨ ıde, la p´ eriode des oscillations d’une bille est constante, quelle
que soit son amplitude. Si on laisse glisser une particule soumise seulement `
a la gravit´ e
` a partir de n’importe quel point sur la courbe, elle mettra toujours exactement le mˆ eme
temps ` a se rendre jusqu’au bas de la courbe. Cette ind´ ependance de la p´ eriode de l’oscillation par rapport au point de d´ epart est appel´ ee la propri´ et´ e tautochrone. Nous la
d´ emontrerons `
a la section 14.6.
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une forme simple. La substitution trigonom´ etrique suivante permet cependant d’int´ egrer
l’´ equation :
y
k − y
= tan φ.
La fonction φ est une nouvelle fonction de x. En isolant y, nous trouvons
y = k sin
2 (φ).
La d´ eriv´ ee de la nouvelle fonction x peut ˆ etre calcul´ ee ` a l’aide de la r` egle de d´ erivation
des fonctions compos´ ees :
dφ
dx
=
dφ
dy
·
dy
dx
=
1
2k(sin φ)(cos φ)
·
1
(tan φ)
=
1
2k sin
2 φ
.
Une m´ ethode usuelle pour r´ esoudre cette nouvelle ´ equation est de la r´ e´ ecrire sous la
forme
dx = 2k sin
2 φ dφ,
qui indique la relation entre les deux accroissements infinit´ esimaux dx et dφ. En trouvant
les primitives des deux membres, nous obtenons
x = 2k
sin
2 φ dφ = 2k
1 − cos 2φ
2
dφ = 2k
φ
2
−
sin 2φ
4
+ C 1 .
Nous avons choisi le point initial A de la trajectoire `
a l’origine du syst` eme de coordonn´ ees
(voir la figure 14.2). Ce choix permet de fixer la constante d’int´ egration C 1 . En A, les
deux coordonn´ ees x et y sont nulles. L’´ equation y = k sin
2 φ donne, en ce point, φ = 0
(ou un multiple entier de π). Et dans l’expression ci-dessus pour x, φ = 0 donne x = C 1 .
Il faut donc poser C 1 = 0. Finalement, en posant
k
2 = a et 2φ = θ, on obtient
x = a(θ − sin θ),
y = a(1 − cos θ).
(14.14)
Ces ´ equations sont les ´ equations param´ etriques d’une cyclo¨ ıde. Une cyclo¨ ıde est une
courbe engendr´ ee par le d´ eplacement d’un point fix´ e sur un cercle de rayon a qui roule
sans glisser sur une droite (figure 14.4).
Voici donc la meilleure piste de planche ` a roulettes, du moins celle o` u le sportif, parti
en A ` a vitesse nulle, atteindra le point B dans le temps le plus court ! La courbe lisse
trac´ ee entre les deux profils en segments de droite ` a la figure 14.2 est une cyclo¨ ıde.
La cyclo¨ ıde est une courbe bien connue des g´ eom` etres. Elle poss` ede d’autres propri´ et´ es int´ eressantes. Par exemple, Christiaan Huygens a d´ ecouvert que, dans une cuve
dont le profil est une cyclo¨ ıde, la p´ eriode des oscillations d’une bille est constante, quelle
que soit son amplitude. Si on laisse glisser une particule soumise seulement `
a la gravit´ e
` a partir de n’importe quel point sur la courbe, elle mettra toujours exactement le mˆ eme
temps ` a se rendre jusqu’au bas de la courbe. Cette ind´ ependance de la p´ eriode de l’oscillation par rapport au point de d´ epart est appel´ ee la propri´ et´ e tautochrone. Nous la
d´ emontrerons `
a la section 14.6.