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14 Le calcul des variations
l’invention de la planche `
a roulettes de pr` es de trois si` ecles ! Au XVII
e si` ecle, Jean
Bernoulli lance un concours qui occupera les plus grands esprits de l’´ epoque. Il fait
ins´ erer le probl` eme suivant dans Acta Editorum de Leipzig : « Deux points A et B ´ etant
donn´ es dans un plan vertical, d´ eterminer la courbe AMB le long de laquelle un mobile
M, abandonn´ e en A, descend sous l’action de sa propre pesanteur et parvient `
a l’autre
point B dans le moins de temps possible. » Le probl` eme prend le nom de brachistochrone,
qui veut dire, traduit textuellement, « temps le plus court ». On sait qu’au moins cinq
math´ ematiciens propos` erent une solution : Leibniz, L’Hospital, Newton, Jean Bernoulli
lui-mˆ eme ainsi que son fr` ere Jacques [6].
L’int´ egrale ` a minimiser, obtenue en (14.2), est
I(y) =
1
√
2g
x2
x1
1 + (y ) 2
√
y
dx,
et la fonction f = f (x, y, y
) est donc
f (x, y, y
) =
1 + (y ) 2
√
y
.
Puisque x n’apparaˆ ıt pas explicitement dans l’expression de f , nous pouvons appliquer
l’identit´ e de Beltrami au lieu de l’´ equation d’Euler–Lagrange (voir le th´ eor` eme 14.5).
La meilleure piste est donc caract´ eris´ ee par une fonction y satisfaisant `
a
y
∂f
∂y − f = C.
Un calcul direct donne
(y
)
2
1 + (y ) 2 √
y
−
1 + (y ) 2
√
y
= C.
Nous pouvons simplifier cette expression en mettant ses deux termes au mˆ eme d´ enominateur
−1
1 + (y ) 2 √
y
= C.
En isolant y
, nous obtenons l’´ equation diff´ erentielle
dy
dx
=
k − y
y
,
(14.13)
o` u k est une constante ´ egale `
a
1
C 2 .
Cette ´ equation diff´ erentielle est difficile, mˆ eme pour quelqu’un qui a fait un cours
d’´ equations diff´ erentielles. Il est en fait impossible d’exprimer y en fonction de x sous
14 Le calcul des variations
l’invention de la planche `
a roulettes de pr` es de trois si` ecles ! Au XVII
e si` ecle, Jean
Bernoulli lance un concours qui occupera les plus grands esprits de l’´ epoque. Il fait
ins´ erer le probl` eme suivant dans Acta Editorum de Leipzig : « Deux points A et B ´ etant
donn´ es dans un plan vertical, d´ eterminer la courbe AMB le long de laquelle un mobile
M, abandonn´ e en A, descend sous l’action de sa propre pesanteur et parvient `
a l’autre
point B dans le moins de temps possible. » Le probl` eme prend le nom de brachistochrone,
qui veut dire, traduit textuellement, « temps le plus court ». On sait qu’au moins cinq
math´ ematiciens propos` erent une solution : Leibniz, L’Hospital, Newton, Jean Bernoulli
lui-mˆ eme ainsi que son fr` ere Jacques [6].
L’int´ egrale ` a minimiser, obtenue en (14.2), est
I(y) =
1
√
2g
x2
x1
1 + (y ) 2
√
y
dx,
et la fonction f = f (x, y, y
) est donc
f (x, y, y
) =
1 + (y ) 2
√
y
.
Puisque x n’apparaˆ ıt pas explicitement dans l’expression de f , nous pouvons appliquer
l’identit´ e de Beltrami au lieu de l’´ equation d’Euler–Lagrange (voir le th´ eor` eme 14.5).
La meilleure piste est donc caract´ eris´ ee par une fonction y satisfaisant `
a
y
∂f
∂y − f = C.
Un calcul direct donne
(y
)
2
1 + (y ) 2 √
y
−
1 + (y ) 2
√
y
= C.
Nous pouvons simplifier cette expression en mettant ses deux termes au mˆ eme d´ enominateur
−1
1 + (y ) 2 √
y
= C.
En isolant y
, nous obtenons l’´ equation diff´ erentielle
dy
dx
=
k − y
y
,
(14.13)
o` u k est une constante ´ egale `
a
1
C 2 .
Cette ´ equation diff´ erentielle est difficile, mˆ eme pour quelqu’un qui a fait un cours
d’´ equations diff´ erentielles. Il est en fait impossible d’exprimer y en fonction de x sous