14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes
471
question : quelles sont les fonctions dont la seconde d´ eriv´ ee est identiquement nulle ?
La r´ eponse est : tout polynˆ ome du premier degr´ e y(x) = ax + b. Ce polynˆ ome d´ epend de
deux constantes a et b qu’il faut d´ eterminer pour que y passe par A et B, c’est-` a-dire
pour que y(x 1 ) = y 1 et y(x 2 ) = y 2 . (Exercice !) Le calcul des variations nous assure
donc que le chemin le plus court entre A et B est la droite y(x) = ax + b passant par
ces deux points.
Cet exercice nous a permis de comprendre comment utiliser l’´ equation d’Euler–
Lagrange. Malgr´ e son aspect fort simple, c’est un exemple tr` es riche qui a des g´ en´ eralisations imm´ ediates beaucoup plus difficiles.
Nous savons que la lumi` ere se propage en ligne droite lorsqu’elle est dans un milieu
uniforme et qu’elle est r´ efract´ ee quand elle passe d’un milieu `
a un autre de densit´ e
diff´ erente. De plus, un rayon lumineux se r´ efl´ echit sur un miroir avec un angle de r´ eflexion
´ egal `
a l’angle d’incidence. Le principe de Fermat r´ esume ces observations physiques en un
´ enonc´ e utilisable directement par le calcul des variations. Il se lit comme suit : la lumi` ere
suit le trajet qui prend le temps le plus court. (Voir la section 15.1 du chapitre 15.)
La vitesse de la lumi` ere dans le vide, not´ ee c, est une constante physique fondamentale (approximativement 3, 00 × 10
8 m/s). Mais la vitesse de la lumi` ere n’est pas
la mˆ eme dans les gaz ou les mat´ eriaux comme le verre. Cette vitesse, v, est souvent
exprim´ ee ` a l’aide de l’indice de r´ efraction n du milieu : v =
c
n . Si le milieu est homog` ene, n est constant. Sinon, n d´ epend de (x, y). Un exemple simple est l’indice de
r´ efraction de l’atmosph` ere, qui varie en fonction de la densit´ e de l’air et d´ epend donc de
l’altitude. (La situation est encore plus compliqu´ ee que cela, car la vitesse de la lumi` ere
peut ´ egalement d´ ependre de la fr´ equence de l’onde.) Si on se limite `
a un probl` eme plan,
l’int´ egrale (14.1) ´ etudi´ ee ci-dessus doit ˆ etre chang´ ee pour tenir compte de cette vitesse
variable. Elle prend alors la forme
I =
x2
x1
dt =
x2
x1
n(x, y)
ds
c
=
x2
x1
n(x, y)
1 + (y ) 2
c
dx.
Ici, dt repr´ esente un intervalle infinit´ esimal de temps et ds, un intervalle infinit´ esimal de
longueur qui, le long d’une trajectoire (x, y(x)), est
1 + (y ) 2 dx. Si n est constant, n et
c peuvent ˆ etre extraits de l’int´ egrale, et nous retrouvons le probl` eme de l’exemple 14.1.
Par contre, si le milieu n’est pas homog` ene, la vitesse de la lumi` ere varie selon
l’indice de r´ efraction du milieu dans lequel elle se trouve, et la ligne droite n’est plus
le trajet le plus rapide. La lumi` ere est alors r´ efract´ ee, c’est-` a-dire que sa direction est
d´ evi´ ee par rapport `
a la ligne droite. On doit tenir compte de ce fait dans le domaine
des t´ el´ ecommunications (par ondes courtes en particulier).
14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes
Nous sommes maintenant prˆ ets ` a attaquer le probl` eme plus difficile de la meilleure
piste de planche `
a roulettes. C’est un vieux probl` eme. En fait, sa formulation pr´ ec` ede
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question : quelles sont les fonctions dont la seconde d´ eriv´ ee est identiquement nulle ?
La r´ eponse est : tout polynˆ ome du premier degr´ e y(x) = ax + b. Ce polynˆ ome d´ epend de
deux constantes a et b qu’il faut d´ eterminer pour que y passe par A et B, c’est-` a-dire
pour que y(x 1 ) = y 1 et y(x 2 ) = y 2 . (Exercice !) Le calcul des variations nous assure
donc que le chemin le plus court entre A et B est la droite y(x) = ax + b passant par
ces deux points.
Cet exercice nous a permis de comprendre comment utiliser l’´ equation d’Euler–
Lagrange. Malgr´ e son aspect fort simple, c’est un exemple tr` es riche qui a des g´ en´ eralisations imm´ ediates beaucoup plus difficiles.
Nous savons que la lumi` ere se propage en ligne droite lorsqu’elle est dans un milieu
uniforme et qu’elle est r´ efract´ ee quand elle passe d’un milieu `
a un autre de densit´ e
diff´ erente. De plus, un rayon lumineux se r´ efl´ echit sur un miroir avec un angle de r´ eflexion
´ egal `
a l’angle d’incidence. Le principe de Fermat r´ esume ces observations physiques en un
´ enonc´ e utilisable directement par le calcul des variations. Il se lit comme suit : la lumi` ere
suit le trajet qui prend le temps le plus court. (Voir la section 15.1 du chapitre 15.)
La vitesse de la lumi` ere dans le vide, not´ ee c, est une constante physique fondamentale (approximativement 3, 00 × 10
8 m/s). Mais la vitesse de la lumi` ere n’est pas
la mˆ eme dans les gaz ou les mat´ eriaux comme le verre. Cette vitesse, v, est souvent
exprim´ ee ` a l’aide de l’indice de r´ efraction n du milieu : v =
c
n . Si le milieu est homog` ene, n est constant. Sinon, n d´ epend de (x, y). Un exemple simple est l’indice de
r´ efraction de l’atmosph` ere, qui varie en fonction de la densit´ e de l’air et d´ epend donc de
l’altitude. (La situation est encore plus compliqu´ ee que cela, car la vitesse de la lumi` ere
peut ´ egalement d´ ependre de la fr´ equence de l’onde.) Si on se limite `
a un probl` eme plan,
l’int´ egrale (14.1) ´ etudi´ ee ci-dessus doit ˆ etre chang´ ee pour tenir compte de cette vitesse
variable. Elle prend alors la forme
I =
x2
x1
dt =
x2
x1
n(x, y)
ds
c
=
x2
x1
n(x, y)
1 + (y ) 2
c
dx.
Ici, dt repr´ esente un intervalle infinit´ esimal de temps et ds, un intervalle infinit´ esimal de
longueur qui, le long d’une trajectoire (x, y(x)), est
1 + (y ) 2 dx. Si n est constant, n et
c peuvent ˆ etre extraits de l’int´ egrale, et nous retrouvons le probl` eme de l’exemple 14.1.
Par contre, si le milieu n’est pas homog` ene, la vitesse de la lumi` ere varie selon
l’indice de r´ efraction du milieu dans lequel elle se trouve, et la ligne droite n’est plus
le trajet le plus rapide. La lumi` ere est alors r´ efract´ ee, c’est-` a-dire que sa direction est
d´ evi´ ee par rapport `
a la ligne droite. On doit tenir compte de ce fait dans le domaine
des t´ el´ ecommunications (par ondes courtes en particulier).
14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes
Nous sommes maintenant prˆ ets ` a attaquer le probl` eme plus difficile de la meilleure
piste de planche `
a roulettes. C’est un vieux probl` eme. En fait, sa formulation pr´ ec` ede