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14 Le calcul des variations
Pour r´ esoudre ce type de probl` emes, on a g´ en´ eralis´ e les notions de d´ eriv´ ees : c’est le
sujet de l’analyse non lisse.
14.3 Le principe de Fermat
Nous pouvons maintenant r´ esoudre les deux probl` emes de la section 14.1.
Exemple 14.6 (retour sur l’exemple 14.1) Comme nous l’avons dit, nous connaissons la r´ eponse au premier probl` eme : quel est le chemin le plus court entre les deux
points A = (x 1 , y 1 ) et B = (x 2 , y 2 ) du plan ? Sa solution `
a l’aide de l’´ equation d’Euler–
Lagrange nous fournit cependant un exemple d’´ equations diff´ erentielles. Nous avons d´ ej` a
reformul´ e cette question dans les termes du calcul des variations : trouver la fonction
y = y(x) qui minimise l’int´ egrale
I(y) =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx
sous les conditions aux limites
y(x 1 ) = y 1 ,
y(x 2 ) = y 2 .
La fonction f (x, y, y
) est donc
1 + (y ) 2 . Puisque les trois variables x, y et y
sont
ind´ ependantes, cette fonction ne d´ epend ni de x ni de y. Nous ne devrons calculer que
le second terme de l’´ equation d’Euler–Lagrange :
∂f
∂y =
y
1 + (y ) 2
et
d
dx
∂f
∂y
=
y
(1 + (y ) 2 )
3
2
.
Le chemin le plus court est d´ ecrit par la fonction y satisfaisant `
a l’´ equation d’Euler–
Lagrange, c’est-` a-dire
y
(1 + (y ) 2 )
3
2
= 0.
Puisque le d´ enominateur est toujours positif, nous pouvons multiplier les deux membres
de cette ´ equation par cette quantit´ e, et l’´ equation diff´ erentielle `
a r´ esoudre devient
y
= 0.
Mˆ eme si vous n’avez pas suivi un cours d’´ equations diff´ erentielles, vous pouvez sans
doute deviner la solution. R´ esoudre cette ´ equation diff´ erentielle revient `
a r´ epondre ` a la