14.2 L’´ equation d’Euler–Lagrange
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´ equation diff´ erentielle donn´ ee, et des m´ ethodes num´ eriques pour calculer approximativement les solutions. Ces m´ ethodes d´ epassent le but du pr´ esent chapitre. Elle se trouvent
par exemple dans [2].
Comme le processus d’optimisation d’une fonction ne d´ ependant que d’une variable
r´ eelle, l’´ equation d’Euler–Lagrange donne parfois plusieurs solutions, et il faut des tests
suppl´ ementaires pour savoir si celles-ci sont des minima, des maxima ou des points d’une
autre nature. De plus, ces extrema pourraient ˆ etre locaux plutˆ ot que globaux. Qu’estce qu’un point critique ? Dans les fonctions d’une variable r´ eelle, c’est un point o` u la
d´ eriv´ ee s’annule. Un tel point peut ˆ etre un extremum ou encore, un point d’inflexion. Et
dans les fonctions de plusieurs variables r´ eelles, des points de selle peuvent apparaˆ ıtre.
Dans le cadre du calcul des variations mettant en jeu une fonctionnelle (14.4), on dit
qu’une fonction y(x) est un point critique de la fonctionnelle si elle est une solution de
l’´ equation d’Euler–Lagrange associ´ ee.
Une derni` ere mise en garde. Si on relit la preuve de l’´ equation d’Euler–Lagrange, on
verra qu’elle n’a de sens que si la fonction y est deux fois diff´ erentiable. Mais il peut
arriver que la vraie solution d’un probl` eme d’optimisation soit une fonction qui n’est pas
diff´ erentiable en tous les points du domaine ! Un exemple d’une telle situation se produit
dans l’´ etude du probl` eme suivant : pour un volume et une hauteur donn´ es, trouver la
forme qu’on doit donner ` a une colonne de r´ evolution pour qu’elle puisse supporter la
plus grande pression venant du haut. Nous n’´ ecrirons pas les ´ equations de ce probl` eme,
mais son histoire est int´ eressante. Lagrange pensait avoir prouv´ e que la solution est un
cylindre, mais en 1992, Cox et Overton [3] ont montr´ e que la bonne colonne prend la
forme de la figure 14.3. Pourtant, le calcul de Lagrange ne comporte pas d’« erreurs » ` a
Fig. 14.3. La colonne optimale de Cox et Overton
proprement parler ; seulement il cherche la meilleure fonction dans la classe des fonctions
diff´ erentiables, alors que la fonction de Cox et Overton ne l’est pas !
Le cas de la colonne n’est pas un exemple isol´ e. Les pellicules de savon (section 14.8)
peuvent avoir des angles. En fait, il est tr` es courant que les probl` emes du calcul des
variations, aussi appel´ es probl` emes variationnels, aient des solutions non diff´ erentiables.
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´ equation diff´ erentielle donn´ ee, et des m´ ethodes num´ eriques pour calculer approximativement les solutions. Ces m´ ethodes d´ epassent le but du pr´ esent chapitre. Elle se trouvent
par exemple dans [2].
Comme le processus d’optimisation d’une fonction ne d´ ependant que d’une variable
r´ eelle, l’´ equation d’Euler–Lagrange donne parfois plusieurs solutions, et il faut des tests
suppl´ ementaires pour savoir si celles-ci sont des minima, des maxima ou des points d’une
autre nature. De plus, ces extrema pourraient ˆ etre locaux plutˆ ot que globaux. Qu’estce qu’un point critique ? Dans les fonctions d’une variable r´ eelle, c’est un point o` u la
d´ eriv´ ee s’annule. Un tel point peut ˆ etre un extremum ou encore, un point d’inflexion. Et
dans les fonctions de plusieurs variables r´ eelles, des points de selle peuvent apparaˆ ıtre.
Dans le cadre du calcul des variations mettant en jeu une fonctionnelle (14.4), on dit
qu’une fonction y(x) est un point critique de la fonctionnelle si elle est une solution de
l’´ equation d’Euler–Lagrange associ´ ee.
Une derni` ere mise en garde. Si on relit la preuve de l’´ equation d’Euler–Lagrange, on
verra qu’elle n’a de sens que si la fonction y est deux fois diff´ erentiable. Mais il peut
arriver que la vraie solution d’un probl` eme d’optimisation soit une fonction qui n’est pas
diff´ erentiable en tous les points du domaine ! Un exemple d’une telle situation se produit
dans l’´ etude du probl` eme suivant : pour un volume et une hauteur donn´ es, trouver la
forme qu’on doit donner ` a une colonne de r´ evolution pour qu’elle puisse supporter la
plus grande pression venant du haut. Nous n’´ ecrirons pas les ´ equations de ce probl` eme,
mais son histoire est int´ eressante. Lagrange pensait avoir prouv´ e que la solution est un
cylindre, mais en 1992, Cox et Overton [3] ont montr´ e que la bonne colonne prend la
forme de la figure 14.3. Pourtant, le calcul de Lagrange ne comporte pas d’« erreurs » ` a
Fig. 14.3. La colonne optimale de Cox et Overton
proprement parler ; seulement il cherche la meilleure fonction dans la classe des fonctions
diff´ erentiables, alors que la fonction de Cox et Overton ne l’est pas !
Le cas de la colonne n’est pas un exemple isol´ e. Les pellicules de savon (section 14.8)
peuvent avoir des angles. En fait, il est tr` es courant que les probl` emes du calcul des
variations, aussi appel´ es probl` emes variationnels, aient des solutions non diff´ erentiables.