468
14 Le calcul des variations
Preuve Calculons
d
dx
∂f
∂y
dans l’´ equation d’Euler–Lagrange. Par la r` egle de d´ erivation des fonctions compos´ ees, et puisque f est ind´ ependante de x, on obtient
d
dx
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
.
Donc, l’´ equation d’Euler–Lagrange devient
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
=
∂f
∂y
.
(14.12)
Pour d´ emontrer l’identit´ e de Beltrami, nous devons montrer que la d´ eriv´ ee par rapport
` a x de la fonction h = y
∂f
∂y − f est nulle. Calculons cette d´ eriv´ ee :
dh
dx
=
∂f
∂y y
+
∂
2 f
∂y∂y y
2 +
∂
2 f
∂y 2 y
y
−
∂f
∂y
y
+
∂f
∂y y
= y
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
−
∂f
∂y
= 0.
La derni` ere ´ egalit´ e d´ ecoule de (14.12).
Avant de donner des exemples d’application des ´ equations d’Euler–Lagrange, il est
utile de faire quelques remarques et mises en garde.
Les ´ equations d’Euler–Lagrange et de Beltrami sont des ´ equations diff´ erentielles
pour la fonction y(x), c’est-` a-dire que ce sont des ´ equations reliant la fonction y ` a ses
d´ eriv´ ees. R´ esoudre des ´ equations diff´ erentielles est une des facettes les plus importantes
du calcul diff´ erentiel, qui a de multiples applications en sciences et en g´ enie.
Un exemple d’une ´ equation diff´ erentielle facile est y
(x) = y(x) (ou simplement
y
= y). Dans cet exemple, « lire » l’´ equation aide `
a la r´ esoudre : quelle est la fonction
y dont la d´ eriv´ ee y
est ´ egale `
a la fonction elle-mˆ eme ? Beaucoup se rappelleront que
la fonction exponentielle a cette propri´ et´ e : si y(x) = e
x , alors y
(x) = e
x = y(x). En
effet, la solution la plus g´ en´ erale de y
= y est y = ce
x o` u c est une constante. Pour
d´ eterminer cette constante c, il faut utiliser une autre ´ equation, typiquement une condition aux limites comme (14.5). Il n’existe pas de m´ ethode syst´ ematique pour trouver
les solutions d’´ equations diff´ erentielles. Ceci n’est pas surprenant : d´ ej` a, une ´ equation
diff´ erentielle simple comme y
= f (x) a pour solution y =
f (x)dx. Or, il n’existe pas
toujours de formule pour la primitive d’une fonction, mˆ eme si on sait qu’une telle primitive existe et qu’on peut ´ evaluer num´ eriquement une int´ egrale d´ efinie
b
a f (x)dx. Tout
comme pour les m´ ethodes d’int´ egration, il existe un nombre important de m´ ethodes
ad hoc pour des ´ equations diff´ erentielles relativement simples et assez communes. Nous
verrons quelques exemples de telles solutions dans ce qui suit. Pour les autres, on utilise
des m´ ethodes th´ eoriques pour les questions d’existence et d’unicit´ e des solutions d’une
14 Le calcul des variations
Preuve Calculons
d
dx
∂f
∂y
dans l’´ equation d’Euler–Lagrange. Par la r` egle de d´ erivation des fonctions compos´ ees, et puisque f est ind´ ependante de x, on obtient
d
dx
∂f
∂y
=
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
.
Donc, l’´ equation d’Euler–Lagrange devient
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
=
∂f
∂y
.
(14.12)
Pour d´ emontrer l’identit´ e de Beltrami, nous devons montrer que la d´ eriv´ ee par rapport
` a x de la fonction h = y
∂f
∂y − f est nulle. Calculons cette d´ eriv´ ee :
dh
dx
=
∂f
∂y y
+
∂
2 f
∂y∂y y
2 +
∂
2 f
∂y 2 y
y
−
∂f
∂y
y
+
∂f
∂y y
= y
∂
2 f
∂y∂y y
+
∂
2 f
∂y 2 y
−
∂f
∂y
= 0.
La derni` ere ´ egalit´ e d´ ecoule de (14.12).
Avant de donner des exemples d’application des ´ equations d’Euler–Lagrange, il est
utile de faire quelques remarques et mises en garde.
Les ´ equations d’Euler–Lagrange et de Beltrami sont des ´ equations diff´ erentielles
pour la fonction y(x), c’est-` a-dire que ce sont des ´ equations reliant la fonction y ` a ses
d´ eriv´ ees. R´ esoudre des ´ equations diff´ erentielles est une des facettes les plus importantes
du calcul diff´ erentiel, qui a de multiples applications en sciences et en g´ enie.
Un exemple d’une ´ equation diff´ erentielle facile est y
(x) = y(x) (ou simplement
y
= y). Dans cet exemple, « lire » l’´ equation aide `
a la r´ esoudre : quelle est la fonction
y dont la d´ eriv´ ee y
est ´ egale `
a la fonction elle-mˆ eme ? Beaucoup se rappelleront que
la fonction exponentielle a cette propri´ et´ e : si y(x) = e
x , alors y
(x) = e
x = y(x). En
effet, la solution la plus g´ en´ erale de y
= y est y = ce
x o` u c est une constante. Pour
d´ eterminer cette constante c, il faut utiliser une autre ´ equation, typiquement une condition aux limites comme (14.5). Il n’existe pas de m´ ethode syst´ ematique pour trouver
les solutions d’´ equations diff´ erentielles. Ceci n’est pas surprenant : d´ ej` a, une ´ equation
diff´ erentielle simple comme y
= f (x) a pour solution y =
f (x)dx. Or, il n’existe pas
toujours de formule pour la primitive d’une fonction, mˆ eme si on sait qu’une telle primitive existe et qu’on peut ´ evaluer num´ eriquement une int´ egrale d´ efinie
b
a f (x)dx. Tout
comme pour les m´ ethodes d’int´ egration, il existe un nombre important de m´ ethodes
ad hoc pour des ´ equations diff´ erentielles relativement simples et assez communes. Nous
verrons quelques exemples de telles solutions dans ce qui suit. Pour les autres, on utilise
des m´ ethodes th´ eoriques pour les questions d’existence et d’unicit´ e des solutions d’une