14.2 L’´ equation d’Euler–Lagrange
467
I
() =
x2
x1
∂f
∂x
∂x
∂∂
+
∂f
∂y
∂Y
∂∂
+
∂f
∂y
∂Y
∂∂
dx.
(14.8)
Mais, dans (14.8),
∂x
∂∂ = 0,
∂Y
∂∂ = g(x) et
∂Y
∂∂ = g
(x). Donc,
I
() =
x2
x1
∂f
∂y
g +
∂f
∂y g
dx.
(14.9)
Le deuxi` eme terme de (14.9) est int´ egrable par parties :
x2
x1
∂f
∂y g
dx =
∂f
∂y g
x2
x1
−
x2
x1
g
d
dx
∂f
∂y
dx.
Le terme de gauche (entre crochets) disparaˆ ıt puisque g(x 1 ) = g(x 2 ) = 0. Donc,
x2
x1
∂f
∂y g
dx = −
x2
x1
g
d
dx
∂f
∂y
dx,
(14.10)
et la d´ eriv´ ee I
() devient
I
() =
x2
x1
∂f
∂y
−
d
dx
∂f
∂y
g dx.
Par hypoth` ese, le minimum de I() se trouve en = 0, car c’est alors que Y (x) =
y ∗ (x). La d´ eriv´ ee I
() doit donc ˆ etre nulle en = 0
I
(0) =
x2
x1
∂f
∂y
−
d
dx
∂f
∂y
y=y∗
g dx = 0.
La notation | y=y∗ indique que la quantit´ e est ´ evalu´ ee quand la fonction Y est la fonction
particuli` ere y ∗ . Rappelons que la fonction g est arbitraire. Pour que I
(0) soit toujours
nulle, quelle que soit g, il faut donc que
∂f
∂y
−
d
dx
∂f
∂y
y=y∗
= 0,
qui est l’´ equation d’Euler–Lagrange.
Dans certains cas, nous pourrons utiliser des formes simplifi´ ees de l’´ equation d’Euler–
Lagrange, qui nous permettront de trouver la solution plus rapidement et plus facilement. Un de ces « raccourcis » se nomme l’identit´ e de Beltrami.
Th´ eor` eme 14.5 Dans les cas o` u la fonction f (x, y, y
) ` a l’int´ erieur de l’int´ egrale (14.4)
est explicitement ind´ ependante de x, une condition n´ ecessaire pour que l’int´ egrale ait
un extremum est donn´ ee par l’identit´ e de Beltrami, qui est une forme particuli` ere de
l’´ equation d’Euler–Lagrange :
y
∂f
∂y − f = C,
(14.11)
o` u C est une constante.