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14 Le calcul des variations
14.2 L’´ equation d’Euler–Lagrange
Th´ eor` eme 14.4 Une condition n´ ecessaire pour que l’int´ egrale
I =
x2
x1
f (x, y, y
) dx
(14.4)
atteigne un extremum sous les conditions aux limites
y(x 1 ) = y 1
y(x 2 ) = y 2
(14.5)
est que la fonction y = y(x) satisfasse `
a l’´ equation d’Euler–Lagrange
∂f
∂y
−
d
dx
∂f
∂y
= 0.
(14.6)
Preuve Les cas du minimum et du maximum se traitent similairement. Supposons
que l’int´ egrale I atteigne un minimum pour la fonction particuli` ere y ∗ qui satisfait
donc ` a y ∗ (x 1 ) = y 1 et y ∗ (x 2 ) = y 2 . Si nous d´ eformons y ∗ en la soumettant ` a certaines
variations, mais en conservant les conditions aux limites (14.5), l’int´ egrale I augmentera
forc´ ement, puisqu’elle est minimale pour y ∗ . Nous choisissons des d´ eformations d’un type
particulier, sous la forme d’une famille de fonctions Y ( x) repr´ esentant des courbes
reliant (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) :
Y (, x) = y ∗ (x) + g(x).
(14.7)
Ici est un nombre r´ eel, et g(x) est une fonction d´ erivable choisie arbitrairement, mais
fix´ ee. Elle doit satisfaire ` a la condition g(x 1 ) = g(x 2 ) = 0 qui garantit que Y ( x 1 ) = y 1
et que Y ( x 2 ) = y 2 pour tout . Le terme g(x) est une variation de la fonction
minimisatrice, d’o` u le nom calcul des variations.
Pour cette famille de d´ eformations, l’int´ egrale devient une fonction I() d’une variable r´ eelle :
I() =
x2
x1
f (x, Y, Y
) dx.
Le probl` eme de trouver l’extremum de I() pour cette famille de d´ eformations a donc ´ et´ e
ramen´ e ` a un probl` eme de calcul diff´ erentiel ordinaire. Nous devons calculer la d´ eriv´ ee
dI
dd pour trouver les points critiques de I() :
I
() =
d
dd
x2
x1
f (x, Y, Y
) dx =
x2
x1
d
dd
f (x, Y, Y
) dx.
Par la formule de d´ erivation des fonctions compos´ ees (que vous connaissez peut-ˆ etre
sous le nom de r` egle de la chaˆ ıne), on obtient