14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations
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Le temps de parcours est la somme sur tous les accroissements infinit´ esimaux dx du
temps dt pris pour parcourir la distance ds correspondante. Ce temps est ´ evidemment
le quotient de la distance ds par la vitesse ` a ce moment de la glissade. Donc,
I(y) =
B
A
dt =
B
A
ds
v
.
L’exemple 14.1 a montr´ e que, pour dx infinit´ esimal, ds =
1 + (y ) 2 dx o` u y
est la
d´ eriv´ ee de y par rapport `
a x. Le temps de parcours est donc donn´ e par l’int´ egrale
(14.2).
Retour sur l’exemple 14.2. Le lemme 14.3 ´ etablit que l’int´ egrale ` a minimiser est
bien (14.2) sous les conditions aux limites A = (x 1 , 0) et B = (x 2 , y 2 ). Le probl` eme
de la meilleure piste de planche ` a roulettes revient ` a trouver la fonction y = y(x) qui
minimise l’int´ egrale I. Ce probl` eme semble beaucoup plus difficile que le premier !
Les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2 appartiennent au domaine des math´ ematiques appel´ e calcul des variations. Il est possible qu’ils vous rappellent les probl` emes
d’optimisation que l’on rencontre dans les cours de calcul diff´ erentiel. Dans ces cours,
vous deviez trouver les extrema d’une fonction f : [a, b] → R. Ceux-ci se trouvent
aux points o` u la d´ eriv´ ee s’annule ou encore, aux extr´ emit´ es de l’intervalle. Le calcul
diff´ erentiel nous fournit donc un outil tr` es puissant pour r´ esoudre ce type de probl` emes.
Les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2 sont cependant d’un type diff´ erent. En calcul
diff´ erentiel, la quantit´ e qui varie lors de la recherche de l’extremum de f (x) est une
simple variable, x, alors qu’elle est une fonction en calcul des variations (la fonction y(x)
param´ etrisant la trajectoire). Nous allons cependant voir que l’outil du calcul diff´ erentiel
est tellement puissant qu’il permet de r´ esoudre les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2.
´
Enon¸ cons maintenant le probl` eme fondamental du calcul des variations.
Probl` eme fondamental du calcul des variations ´
Etant donn´ e une fonction f =
f (x, y, y
), trouver les fonctions y(x) qui m` enent `
a des extrema de l’int´ egrale
I =
x2
x1
f (x, y, y
)dx
sous les conditions aux limites
y(x 1 ) = y 1 ,
y(x 2 ) = y 2 .
Comment faire pour savoir quelles fonctions y(x) minimisent ou maximisent l’int´ egrale I ? C’est ` a cette question que r´ epond l’´ equation d’Euler–Lagrange.
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Le temps de parcours est la somme sur tous les accroissements infinit´ esimaux dx du
temps dt pris pour parcourir la distance ds correspondante. Ce temps est ´ evidemment
le quotient de la distance ds par la vitesse ` a ce moment de la glissade. Donc,
I(y) =
B
A
dt =
B
A
ds
v
.
L’exemple 14.1 a montr´ e que, pour dx infinit´ esimal, ds =
1 + (y ) 2 dx o` u y
est la
d´ eriv´ ee de y par rapport `
a x. Le temps de parcours est donc donn´ e par l’int´ egrale
(14.2).
Retour sur l’exemple 14.2. Le lemme 14.3 ´ etablit que l’int´ egrale ` a minimiser est
bien (14.2) sous les conditions aux limites A = (x 1 , 0) et B = (x 2 , y 2 ). Le probl` eme
de la meilleure piste de planche ` a roulettes revient ` a trouver la fonction y = y(x) qui
minimise l’int´ egrale I. Ce probl` eme semble beaucoup plus difficile que le premier !
Les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2 appartiennent au domaine des math´ ematiques appel´ e calcul des variations. Il est possible qu’ils vous rappellent les probl` emes
d’optimisation que l’on rencontre dans les cours de calcul diff´ erentiel. Dans ces cours,
vous deviez trouver les extrema d’une fonction f : [a, b] → R. Ceux-ci se trouvent
aux points o` u la d´ eriv´ ee s’annule ou encore, aux extr´ emit´ es de l’intervalle. Le calcul
diff´ erentiel nous fournit donc un outil tr` es puissant pour r´ esoudre ce type de probl` emes.
Les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2 sont cependant d’un type diff´ erent. En calcul
diff´ erentiel, la quantit´ e qui varie lors de la recherche de l’extremum de f (x) est une
simple variable, x, alors qu’elle est une fonction en calcul des variations (la fonction y(x)
param´ etrisant la trajectoire). Nous allons cependant voir que l’outil du calcul diff´ erentiel
est tellement puissant qu’il permet de r´ esoudre les probl` emes des exemples 14.1 et 14.2.
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Enon¸ cons maintenant le probl` eme fondamental du calcul des variations.
Probl` eme fondamental du calcul des variations ´
Etant donn´ e une fonction f =
f (x, y, y
), trouver les fonctions y(x) qui m` enent `
a des extrema de l’int´ egrale
I =
x2
x1
f (x, y, y
)dx
sous les conditions aux limites
y(x 1 ) = y 1 ,
y(x 2 ) = y 2 .
Comment faire pour savoir quelles fonctions y(x) minimisent ou maximisent l’int´ egrale I ? C’est ` a cette question que r´ epond l’´ equation d’Euler–Lagrange.