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14 Le calcul des variations
de cuvette ? Le sportif a-t-il avantage ` a atteindre la plus grande vitesse rapidement
mˆ eme si sa trajectoire sera plus longue (profil en pointill´ e), devra-t-il opter pour le
profil constitu´ e de deux segments de droite ou encore choisir une courbe entre ces deux
extrˆ emes, telle la courbe lisse de la figure 14.2 ?
Fig. 14.2. Trois profils possibles pour la meilleure piste de planche ` a roulettes
Il est relativement ais´ e de calculer le temps de parcours pour les deux profils extrˆ emes.
Mais nous montrerons sous peu que le « meilleur » profil est celui d’une courbe lisse entre
ces deux extrˆ emes. Calculons donc le temps de parcours entre les points A et B pour
une courbe quelconque (x, y(x)).
Lemme 14.3 Soit un syst` eme d’axes tel que l’axe des y pointe vers le bas comme sur
la figure 14.2, et une courbe y(x) telle que A = (x 1 , y(x 1 )) et B = (x 2 , y(x 2 )). Le temps
de parcours d’un point mat´ eriel parcourant la courbe de A ` a B sous la seule action de
son poids est donn´ e par
I(y) =
1
√
2g
x2
x1
1 + (y ) 2
√
y
dx.
(14.2)
Preuve La cl´ e pour calculer le temps de parcours est le principe physique de la conservation de l’´ energie. L’´ energie totale E du point mat´ eriel est la somme de son ´ energie
cin´ etique (T =
1
2 mv
2 ) et de son ´ energie potentielle (V = −mgy). (Attention : le signe
« − » dans V s’explique par le fait que y croˆ ıt vers le bas alors que l’´ energie potentielle
diminue dans cette direction.) Ici, m est la masse du point mat´ eriel, v sa vitesse, et g
est l’acc´ el´ eration due ` a la gravit´ e. Cette constante vaut g ≈ 9,8 m/s
2 ` a la surface de la
Terre. L’´ energie E = T + V =
1
2 mv
2
− mgy du point mat´ eriel est conserv´ ee pendant la
glissade dans la cuvette, c’est-` a-dire qu’elle est constante. Si la vitesse du point mat´ eriel
en A est nulle, alors E est nulle au d´ epart et donc, tout le long de la trajectoire. Ainsi la
vitesse du point mat´ eriel est reli´ ee ` a sa hauteur par E = 0, c’est-` a-dire que
1
2 mv
2 = mgy
ou encore
v =
2gy.
(14.3)
14 Le calcul des variations
de cuvette ? Le sportif a-t-il avantage ` a atteindre la plus grande vitesse rapidement
mˆ eme si sa trajectoire sera plus longue (profil en pointill´ e), devra-t-il opter pour le
profil constitu´ e de deux segments de droite ou encore choisir une courbe entre ces deux
extrˆ emes, telle la courbe lisse de la figure 14.2 ?
Fig. 14.2. Trois profils possibles pour la meilleure piste de planche ` a roulettes
Il est relativement ais´ e de calculer le temps de parcours pour les deux profils extrˆ emes.
Mais nous montrerons sous peu que le « meilleur » profil est celui d’une courbe lisse entre
ces deux extrˆ emes. Calculons donc le temps de parcours entre les points A et B pour
une courbe quelconque (x, y(x)).
Lemme 14.3 Soit un syst` eme d’axes tel que l’axe des y pointe vers le bas comme sur
la figure 14.2, et une courbe y(x) telle que A = (x 1 , y(x 1 )) et B = (x 2 , y(x 2 )). Le temps
de parcours d’un point mat´ eriel parcourant la courbe de A ` a B sous la seule action de
son poids est donn´ e par
I(y) =
1
√
2g
x2
x1
1 + (y ) 2
√
y
dx.
(14.2)
Preuve La cl´ e pour calculer le temps de parcours est le principe physique de la conservation de l’´ energie. L’´ energie totale E du point mat´ eriel est la somme de son ´ energie
cin´ etique (T =
1
2 mv
2 ) et de son ´ energie potentielle (V = −mgy). (Attention : le signe
« − » dans V s’explique par le fait que y croˆ ıt vers le bas alors que l’´ energie potentielle
diminue dans cette direction.) Ici, m est la masse du point mat´ eriel, v sa vitesse, et g
est l’acc´ el´ eration due ` a la gravit´ e. Cette constante vaut g ≈ 9,8 m/s
2 ` a la surface de la
Terre. L’´ energie E = T + V =
1
2 mv
2
− mgy du point mat´ eriel est conserv´ ee pendant la
glissade dans la cuvette, c’est-` a-dire qu’elle est constante. Si la vitesse du point mat´ eriel
en A est nulle, alors E est nulle au d´ epart et donc, tout le long de la trajectoire. Ainsi la
vitesse du point mat´ eriel est reli´ ee ` a sa hauteur par E = 0, c’est-` a-dire que
1
2 mv
2 = mgy
ou encore
v =
2gy.
(14.3)