14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations
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`
A chaque incr´ ement Δx le long d’une trajectoire correspond un court segment de la
trajectoire dont la longueur, not´ ee Δs, d´ epend de x. La longueur totale du chemin est
donc
I(y) =
Δs(x).
`
A l’aide du th´ eor` eme de Pythagore, cette longueur Δs peut ˆ etre approxim´ ee, pour Δx
suffisamment petit, par Δs(x) =
(Δx) 2 + (Δy) 2 comme l’indique la figure 14.1. Ainsi,
Δs =
(Δx) 2 + (Δy) 2 =
1 +
Δy
Δx
2
Δx.
Si Δx tend vers z´ ero, le rapport
Δy
Δx devient la d´ eriv´ ee
dy
dx , et l’int´ egrale I,
I(y) =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx.
(14.1)
Trouver le plus court chemin entre les points A et B s’´ enonce comme suit dans le calcul
des variations : quelle trajectoire (x, y(x)) allant de A ` a B minimise la fonctionnelle
I ? Nous reviendrons sur ce probl` eme `
a la section 14.3.
Ce premier exemple ne convaincra personne de l’utilit´ e du calcul des variations.
La question pos´ ee (trouver la trajectoire (x, y(x)) minimisant l’int´ egrale I) semble bien
difficile pour r´ esoudre un probl` eme dont on connaˆ ıt d´ ej` a la solution. C’est pourquoi nous
pr´ esentons un second exemple dont la solution, elle, ne sera sans doute pas ´ evidente.
Exemple 14.2 Quelle est la meilleure piste de planche `
a roulettes ? La demi-lune est
populaire en planche ` a roulettes, mais aussi en planche `
a neige, sport qui est devenu
une discipline olympique aux Jeux de Nagano en 1998 ; elle a la forme d’une cuvette
aux murs l´ eg` erement arrondis. Le planchiste, glisse d’une paroi `
a l’autre de la cuvette et
ex´ ecute des prouesses acrobatiques quand il atteint les sommets. Trois profils possibles
sont pr´ esent´ es ` a la figure 14.2. Les trois ont les mˆ emes sommets (A et C) et le mˆ eme
fond (B). Le profil en pointill´ e requiert une explication : il faut imaginer qu’on ajoute
un petit quart de cercle dans chaque coin pour transformer la vitesse verticale en vitesse
horizontale (ou le contraire) et qu’on prend ensuite la limite lorsque le rayon du quart de
cercle tend vers z´ ero. Ce parcours serait casse-cou puisqu’il contient deux angles droits ;
il permettrait cependant au sportif d´ emarrant du point A d’atteindre tr` es tˆ ot une grande
vitesse parce que cette piste commence par une chute libre. Le profil en traits discontinus
est constitu´ e des segments de droite AB et BC ; c’est donc le profil passant par A, B et
C qui est le plus court en distance.
Mais que veut dire « la meilleure piste » ? Cette formulation n’est gu` ere math´ ematique.
Nous la changerons pour la d´ efinition suivante : quelle est la piste qui permet de se
rendre du point A au point B dans le temps le plus court ? Cette nouvelle d´ efinition est
pr´ ecise math´ ematiquement, mais elle pourrait ne pas satisfaire les sportifs. Elle semble
malgr´ e tout un bon compromis. Selon cette d´ efinition pr´ ecise, quel est le meilleur profil
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A chaque incr´ ement Δx le long d’une trajectoire correspond un court segment de la
trajectoire dont la longueur, not´ ee Δs, d´ epend de x. La longueur totale du chemin est
donc
I(y) =
Δs(x).
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A l’aide du th´ eor` eme de Pythagore, cette longueur Δs peut ˆ etre approxim´ ee, pour Δx
suffisamment petit, par Δs(x) =
(Δx) 2 + (Δy) 2 comme l’indique la figure 14.1. Ainsi,
Δs =
(Δx) 2 + (Δy) 2 =
1 +
Δy
Δx
2
Δx.
Si Δx tend vers z´ ero, le rapport
Δy
Δx devient la d´ eriv´ ee
dy
dx , et l’int´ egrale I,
I(y) =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx.
(14.1)
Trouver le plus court chemin entre les points A et B s’´ enonce comme suit dans le calcul
des variations : quelle trajectoire (x, y(x)) allant de A ` a B minimise la fonctionnelle
I ? Nous reviendrons sur ce probl` eme `
a la section 14.3.
Ce premier exemple ne convaincra personne de l’utilit´ e du calcul des variations.
La question pos´ ee (trouver la trajectoire (x, y(x)) minimisant l’int´ egrale I) semble bien
difficile pour r´ esoudre un probl` eme dont on connaˆ ıt d´ ej` a la solution. C’est pourquoi nous
pr´ esentons un second exemple dont la solution, elle, ne sera sans doute pas ´ evidente.
Exemple 14.2 Quelle est la meilleure piste de planche `
a roulettes ? La demi-lune est
populaire en planche ` a roulettes, mais aussi en planche `
a neige, sport qui est devenu
une discipline olympique aux Jeux de Nagano en 1998 ; elle a la forme d’une cuvette
aux murs l´ eg` erement arrondis. Le planchiste, glisse d’une paroi `
a l’autre de la cuvette et
ex´ ecute des prouesses acrobatiques quand il atteint les sommets. Trois profils possibles
sont pr´ esent´ es ` a la figure 14.2. Les trois ont les mˆ emes sommets (A et C) et le mˆ eme
fond (B). Le profil en pointill´ e requiert une explication : il faut imaginer qu’on ajoute
un petit quart de cercle dans chaque coin pour transformer la vitesse verticale en vitesse
horizontale (ou le contraire) et qu’on prend ensuite la limite lorsque le rayon du quart de
cercle tend vers z´ ero. Ce parcours serait casse-cou puisqu’il contient deux angles droits ;
il permettrait cependant au sportif d´ emarrant du point A d’atteindre tr` es tˆ ot une grande
vitesse parce que cette piste commence par une chute libre. Le profil en traits discontinus
est constitu´ e des segments de droite AB et BC ; c’est donc le profil passant par A, B et
C qui est le plus court en distance.
Mais que veut dire « la meilleure piste » ? Cette formulation n’est gu` ere math´ ematique.
Nous la changerons pour la d´ efinition suivante : quelle est la piste qui permet de se
rendre du point A au point B dans le temps le plus court ? Cette nouvelle d´ efinition est
pr´ ecise math´ ematiquement, mais elle pourrait ne pas satisfaire les sportifs. Elle semble
malgr´ e tout un bon compromis. Selon cette d´ efinition pr´ ecise, quel est le meilleur profil