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14 Le calcul des variations
14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations
Le calcul des variations est une branche des math´ ematiques qui permet d’optimiser des quantit´ es physiques (comme le temps, la surface ou la distance). Il trouve des
applications dans des domaines aussi vari´ es que l’a´ eronautique (maximiser la port´ ee
d’une aile d’avion), la conception d’´ equipements sportifs performants (minimiser la friction de l’air sur un casque de cycliste, optimiser la forme d’un ski), la r´ esistance des
structures (maximiser la r´ esistance d’une colonne, d’un barrage hydro´ electrique, d’une
voˆ ute), l’optimisation des formes (profiler la coque d’un navire), la physique (calculer les
trajectoires des corps en m´ ecanique classique et les g´ eod´ esiques en relativit´ e g´ en´ erale),
etc.
Deux exemples permettent de comprendre les probl` emes auxquels s’attaque le calcul
des variations.
Exemple 14.1 Cet exemple est tr` es simple, et nous connaissons d´ ej` a la r´ eponse au
probl` eme. Sa formulation nous aidera cependant par la suite. Il s’agit de trouver le
chemin le plus court entre deux points A = (x 1 , y 1 ) et B = (x 2 , y 2 ). Nous savons que
la r´ eponse est la ligne droite, mais nous ferons l’effort de reformuler ce probl` eme dans
le langage du calcul des variations. Supposons que x 1 = x 2 et qu’il est possible d’´ ecrire
la seconde coordonn´ ee comme fonction de la premi` ere. Alors, le chemin est donn´ e par
(x, y(x)) pour x ∈ [x 1 , x 2 ], y(x 1 ) = y 1 et y(x 2 ) = y 2 . La quantit´ e I dont on doit trouver
le minimum est ici la longueur du chemin entre A et B selon la trajectoire. Cette
quantit´ e I(y) d´ epend ´ evidemment de la trajectoire choisie et donc, de la fonction y(x).
Cette « fonction d’une fonction » est appel´ ee une fonctionnelle par les math´ ematiciens.
Fig. 14.1. Une trajectoire entre les deux points A et B
14 Le calcul des variations
14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations
Le calcul des variations est une branche des math´ ematiques qui permet d’optimiser des quantit´ es physiques (comme le temps, la surface ou la distance). Il trouve des
applications dans des domaines aussi vari´ es que l’a´ eronautique (maximiser la port´ ee
d’une aile d’avion), la conception d’´ equipements sportifs performants (minimiser la friction de l’air sur un casque de cycliste, optimiser la forme d’un ski), la r´ esistance des
structures (maximiser la r´ esistance d’une colonne, d’un barrage hydro´ electrique, d’une
voˆ ute), l’optimisation des formes (profiler la coque d’un navire), la physique (calculer les
trajectoires des corps en m´ ecanique classique et les g´ eod´ esiques en relativit´ e g´ en´ erale),
etc.
Deux exemples permettent de comprendre les probl` emes auxquels s’attaque le calcul
des variations.
Exemple 14.1 Cet exemple est tr` es simple, et nous connaissons d´ ej` a la r´ eponse au
probl` eme. Sa formulation nous aidera cependant par la suite. Il s’agit de trouver le
chemin le plus court entre deux points A = (x 1 , y 1 ) et B = (x 2 , y 2 ). Nous savons que
la r´ eponse est la ligne droite, mais nous ferons l’effort de reformuler ce probl` eme dans
le langage du calcul des variations. Supposons que x 1 = x 2 et qu’il est possible d’´ ecrire
la seconde coordonn´ ee comme fonction de la premi` ere. Alors, le chemin est donn´ e par
(x, y(x)) pour x ∈ [x 1 , x 2 ], y(x 1 ) = y 1 et y(x 2 ) = y 2 . La quantit´ e I dont on doit trouver
le minimum est ici la longueur du chemin entre A et B selon la trajectoire. Cette
quantit´ e I(y) d´ epend ´ evidemment de la trajectoire choisie et donc, de la fonction y(x).
Cette « fonction d’une fonction » est appel´ ee une fonctionnelle par les math´ ematiciens.
Fig. 14.1. Une trajectoire entre les deux points A et B