14
Le calcul des variations
et ses applications
1
Ce chapitre est plus « classique » que les autres. Il introduit au calcul des variations, un
tr` es beau chapitre des math´ ematiques, trop souvent m´ econnu des math´ ematiciens. Une
connaissance du calcul `
a plusieurs variables suffira, mais une connaissance ´ el´ ementaire
des ´ equations diff´ erentielles sera un atout.
Le chapitre contient plus de mati` ere que ce qu’on peut traiter en une semaine. Si l’on
veut y consacrer une semaine, on commence par motiver le calcul des variations par
des exemples de probl` emes se ramenant ` a minimiser une fonctionnelle (section 14.1).
On montre ensuite comment d´ eriver la condition n´ ecessaire d’Euler–Lagrange et le cas
particulier de l’identit´ e de Beltrami (section 14.2). On solutionne enfin les questions
formul´ ees ` a la section 14.1, dont le probl` eme classique de la brachistochrone (section 14.4). Pour traiter le reste du chapitre, il faut disposer d’une deuxi` eme ou mˆ eme
d’une troisi` eme semaine. Cependant, le niveau math´ ematique reste constant tout au
long du chapitre (il n’y a pas de partie avanc´ ee).
Certaines sections poursuivent l’´ etude des propri´ et´ es de la cyclo¨ ıde qui constitue la
solution au probl` eme de la brachistochrone : la propri´ et´ e tautochrone est pr´ esent´ ee ` a la
section 14.6 et le pendule isochrone de Huygens, ` a la section 14.7. Ces deux sections
n’utilisent pas le calcul des variations, mais donnent des exemples de mod´ elisation
ayant suscit´ e des espoirs d’applications technologiques.
Toutes les autres sections abordent un nouveau probl` eme du calcul des variations : le
tunnel le plus rapide (section 14.5), les bulles de savon (section 14.8), des probl` emes
isop´ erim´ etriques tels la chaˆ ınette, l’arc tenant sous son propre poids (section 14.10) et
le t´ elescope ` a miroir liquide (section 14.11).
La section 14.9 porte sur le principe de Hamilton, qui reformule la m´ ecanique classique
au moyen d’un principe variationnel. Moins « technologique » que les autres, cette
section se veut un enrichissement culturel pour les ´ etudiants en math´ ematiques qui ont
´ et´ e initi´ es `
a la m´ ecanique newtonienne et n’ont pas eu l’occasion de pousser plus loin
leur ´ etude de la physique.
1 La premi` ere version de ce chapitre a ´ et´ e r´ ealis´ ee par H´ el` ene Antaya au d´ ebut de ses ´ etudes
de premier cycle en math´ ematiques.
Le calcul des variations
et ses applications
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Ce chapitre est plus « classique » que les autres. Il introduit au calcul des variations, un
tr` es beau chapitre des math´ ematiques, trop souvent m´ econnu des math´ ematiciens. Une
connaissance du calcul `
a plusieurs variables suffira, mais une connaissance ´ el´ ementaire
des ´ equations diff´ erentielles sera un atout.
Le chapitre contient plus de mati` ere que ce qu’on peut traiter en une semaine. Si l’on
veut y consacrer une semaine, on commence par motiver le calcul des variations par
des exemples de probl` emes se ramenant ` a minimiser une fonctionnelle (section 14.1).
On montre ensuite comment d´ eriver la condition n´ ecessaire d’Euler–Lagrange et le cas
particulier de l’identit´ e de Beltrami (section 14.2). On solutionne enfin les questions
formul´ ees ` a la section 14.1, dont le probl` eme classique de la brachistochrone (section 14.4). Pour traiter le reste du chapitre, il faut disposer d’une deuxi` eme ou mˆ eme
d’une troisi` eme semaine. Cependant, le niveau math´ ematique reste constant tout au
long du chapitre (il n’y a pas de partie avanc´ ee).
Certaines sections poursuivent l’´ etude des propri´ et´ es de la cyclo¨ ıde qui constitue la
solution au probl` eme de la brachistochrone : la propri´ et´ e tautochrone est pr´ esent´ ee ` a la
section 14.6 et le pendule isochrone de Huygens, ` a la section 14.7. Ces deux sections
n’utilisent pas le calcul des variations, mais donnent des exemples de mod´ elisation
ayant suscit´ e des espoirs d’applications technologiques.
Toutes les autres sections abordent un nouveau probl` eme du calcul des variations : le
tunnel le plus rapide (section 14.5), les bulles de savon (section 14.8), des probl` emes
isop´ erim´ etriques tels la chaˆ ınette, l’arc tenant sous son propre poids (section 14.10) et
le t´ elescope ` a miroir liquide (section 14.11).
La section 14.9 porte sur le principe de Hamilton, qui reformule la m´ ecanique classique
au moyen d’un principe variationnel. Moins « technologique » que les autres, cette
section se veut un enrichissement culturel pour les ´ etudiants en math´ ematiques qui ont
´ et´ e initi´ es `
a la m´ ecanique newtonienne et n’ont pas eu l’occasion de pousser plus loin
leur ´ etude de la physique.
1 La premi` ere version de ce chapitre a ´ et´ e r´ ealis´ ee par H´ el` ene Antaya au d´ ebut de ses ´ etudes
de premier cycle en math´ ematiques.