1.4 Les registres ` a d´ ecalage
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3. {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants comme ´ el´ ements de l’espace vectoriel F
r
2 sur F 2 (qui est isomorphe `
a notre corps F 2 r ).
4. Une racine primitive α du corps F 2 r est racine d’un polynˆ ome irr´ eductible sur F 2
Q(x) = x
r + q r−1 x
r−1 + · · · + q 1 x + q 0 .
Le corps construit avec le polynˆ ome Q est isomorphe au corps construit avec le
polynˆ ome P .
D´ efinition 1.7 Un polynˆ ome Q(x) ` a coefficients dans F 2 est primitif s’il est irr´ eductible
et si le polynˆ ome x est racine primitive du corps F 2 r construit ` a l’aide du polynˆ ome Q(x).
Exemple 1.8 Avant de donner une id´ ee de la preuve du th´ eor` eme 1.6, regardons le
polynˆ ome P (x) = x
4 + x + 1 sur F 2 . Nous allons nous convaincre qu’il est primitif et
que l’ensemble des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 3 muni de la multiplication
modulo P (x) est un corps que nous noterons F 2 4 . La seule propri´ et´ e qui est difficile
` a montrer est l’existence de l’inverse multiplicatif de tout polynˆ ome non nul de degr´ e
inf´ erieur ou ´ egal `
a 3. Dire qu’on travaille modulo P (x), c’est dire que P (x) = 0 et donc,
x
4 = x + 1 (dans F 2 on a −x = x). Calculons maintenant les puissances x
n pour n > 4.
x
5 = x(x + 1) = x
2 + x,
x
6 = x(x
2 + x) = x
3 + x
2 ,
x
7 = x(x
3 + x
2 ) = (x + 1) + x
3 = x
3 + x + 1,
x
8 = x(x
3 + x + 1) = (x + 1) + x
2 + x = x
2 + 1,
x
9 = x(x
2 + 1) = x
3 + x,
x
10 = x(x
3 + x) = (x + 1) + x
2 = x
2 + x + 1,
x
11 = x(x
2 + x + 1) = x
3 + x
2 + x,
x
12 = x(x
3 + x
2 + x) = (x + 1) + x
3 + x
2 = x
3 + x
2 + x + 1,
x
13 = x(x
3 + x
2 + x + 1) = (x + 1) + x
3 + x
2 + x = x
3 + x
2 + 1,
x
14 = x(x
3 + x
2 + 1) = (x + 1) + x
3 + x = x
3 + 1,
x
15 = x(x
3 + 1) = (x + 1) + x = 1.
On voit donc que toutes les puissances {x, x
2 , . . . , x
15 = 1} co¨ ıncident pr´ ecis´ ement avec
les polynˆ omes non nuls `
a coefficients dans F 2 de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a 3. Ceci nous
montre que chaque ´ el´ ement non nul de F 2 4 a un inverse multiplicatif. En effet, un tel
´ el´ ement est de la forme x
n avec n ≤ 15. Puisque x
15 = 1, son inverse multiplicatif est
x
15−n .
Une cons´ equence de ce que nous avons fait est que P (x) est irr´ eductible. En effet,
supposons que P (x) = Q(x)R(x), avec Q(x) et R(x) deux polynˆ omes `
a coefficients dans
F 2 de degr´ e inf´ erieur `
a 4. On a donc Q(x) = x
n et R(x) = x
m pour m, n ∈ {1, . . . , 15}.
Alors Q(x)R(x) = x
m+n
= 0 dans F 2 4 . Contradiction, car P (x) = 0 dans F 2 4 .
Id´ ee de la preuve du th´ eor` eme 1.6