22
1 Positionnement
Dans l’exemple, nous n’avons pas expliqu´ e comment nous avions trouv´ e les q 0 , q 1 ,
q 2 , q 3 et a 0 , a 1 , a 2 , a 3 . Pour le faire et pour la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.4, nous
aurons besoin des corps finis, plus particuli` erement du corps F 2 r ` a 2
r ´ el´ ements. Dans le
cas r = 1, le corps F 2 est le corps ` a deux ´ el´ ements {0, 1} avec addition et multiplication
modulo 2.
1.4.1 La structure de corps sur F 2 r
La structure de corps et la construction des corps finis d’ordre p
n sont d´ ecrites aux
sections 6.2 et 6.5 du chapitre 6. Ces sections peuvent ˆ etre lues sans lire les autres
sections du chapitre, et leur contenu est suppos´ e connu.
Les ´ el´ ements de F 2 r sont des r-tuples (b 0 , . . . , b r−1 ) de 0 et de 1. L’addition de deux
tels r-tuples est l’addition modulo 2, entr´ ee par entr´ ee.
(b 0 , . . . , b r−1 ) + (c 0 , . . . , c r−1 ) = (d 0 , . . . , d r−1 )
(1.27)
o` u d i ≡ b i + c i (mod 2). Pour d´ efinir une multiplication, on commence par se donner un
polynˆ ome irr´ eductible
P (x) = x
r + p r−1 x
r−1 + · · · + p 1 x + p 0
(1.28)
sur F 2 . On identifie chaque r-tuple (b 0 , . . . , b r−1 ) ` a un polynˆ ome de degr´ e r − 1 :
b r−1 x
r−1 + · · · + b 1 x + b 0 .
(1.29)
Pour multiplier les deux r-tuples, on multiplie les polynˆ omes associ´ es. Le produit
est a priori un polynˆ ome de degr´ e 2(r − 1). On le r´ eduit ` a un polynˆ ome de degr´ e r − 1
en utilisant la r` egle P (x) = 0, c’est-` a-dire
x
r = p r−1 x
r−1 + · · · + p 1 x + p 0
(1.30)
(se rappeler que −p i = p i dans F 2 ), que l’on it` ere.
On identifie le polynˆ ome x au r-tuple (0, 1, 0, . . . , 0). Le th´ eor` eme suivant est classique en th´ eorie des corps finis. Nous ne donnerons que quelques ´ el´ ements de preuve, sans
faire de rappels alg´ ebriques pr´ ealables. Le lecteur peu familier avec ceux-ci peut sauter
cette preuve et regarder l’exemple 1.8 pour comprendre la signification du th´ eor` eme et
la mani` ere de l’utiliser.
Th´ eor` eme 1.6 1. F 2 r muni de l’addition des polynˆ omes modulo 2 et de cette multiplication est un corps.
2. Il existe un ´ el´ ement α tel que les ´ el´ ements non nuls de F 2 r sont pr´ ecis´ ement les
´ el´ ements α
i , i = 0, . . . , 2
r
− 2, c’est-` a-dire
F 2 r \ {0} = {1, α, α
2 , . . . , α
2
r −2
}.
(1.31)
`
A cause de cette propri´ et´ e, α est appel´ e racine primitive du corps et satisfait ` a
α
2
r −1 = 1.
1 Positionnement
Dans l’exemple, nous n’avons pas expliqu´ e comment nous avions trouv´ e les q 0 , q 1 ,
q 2 , q 3 et a 0 , a 1 , a 2 , a 3 . Pour le faire et pour la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.4, nous
aurons besoin des corps finis, plus particuli` erement du corps F 2 r ` a 2
r ´ el´ ements. Dans le
cas r = 1, le corps F 2 est le corps ` a deux ´ el´ ements {0, 1} avec addition et multiplication
modulo 2.
1.4.1 La structure de corps sur F 2 r
La structure de corps et la construction des corps finis d’ordre p
n sont d´ ecrites aux
sections 6.2 et 6.5 du chapitre 6. Ces sections peuvent ˆ etre lues sans lire les autres
sections du chapitre, et leur contenu est suppos´ e connu.
Les ´ el´ ements de F 2 r sont des r-tuples (b 0 , . . . , b r−1 ) de 0 et de 1. L’addition de deux
tels r-tuples est l’addition modulo 2, entr´ ee par entr´ ee.
(b 0 , . . . , b r−1 ) + (c 0 , . . . , c r−1 ) = (d 0 , . . . , d r−1 )
(1.27)
o` u d i ≡ b i + c i (mod 2). Pour d´ efinir une multiplication, on commence par se donner un
polynˆ ome irr´ eductible
P (x) = x
r + p r−1 x
r−1 + · · · + p 1 x + p 0
(1.28)
sur F 2 . On identifie chaque r-tuple (b 0 , . . . , b r−1 ) ` a un polynˆ ome de degr´ e r − 1 :
b r−1 x
r−1 + · · · + b 1 x + b 0 .
(1.29)
Pour multiplier les deux r-tuples, on multiplie les polynˆ omes associ´ es. Le produit
est a priori un polynˆ ome de degr´ e 2(r − 1). On le r´ eduit ` a un polynˆ ome de degr´ e r − 1
en utilisant la r` egle P (x) = 0, c’est-` a-dire
x
r = p r−1 x
r−1 + · · · + p 1 x + p 0
(1.30)
(se rappeler que −p i = p i dans F 2 ), que l’on it` ere.
On identifie le polynˆ ome x au r-tuple (0, 1, 0, . . . , 0). Le th´ eor` eme suivant est classique en th´ eorie des corps finis. Nous ne donnerons que quelques ´ el´ ements de preuve, sans
faire de rappels alg´ ebriques pr´ ealables. Le lecteur peu familier avec ceux-ci peut sauter
cette preuve et regarder l’exemple 1.8 pour comprendre la signification du th´ eor` eme et
la mani` ere de l’utiliser.
Th´ eor` eme 1.6 1. F 2 r muni de l’addition des polynˆ omes modulo 2 et de cette multiplication est un corps.
2. Il existe un ´ el´ ement α tel que les ´ el´ ements non nuls de F 2 r sont pr´ ecis´ ement les
´ el´ ements α
i , i = 0, . . . , 2
r
− 2, c’est-` a-dire
F 2 r \ {0} = {1, α, α
2 , . . . , α
2
r −2
}.
(1.31)
`
A cause de cette propri´ et´ e, α est appel´ e racine primitive du corps et satisfait ` a
α
2
r −1 = 1.