24
1 Positionnement
1. La preuve est identique ` a la preuve du fait que F p (aussi appel´ e Z p ) est un corps
si p est premier (voir exercice 24 du chapitre 6). On utilise pour cela l’algorithme
d’Euclide pour les polynˆ omes qui permet de trouver le plus grand diviseur commun
de deux polynˆ omes.
2. Les ´ el´ ements non nuls de F 2 r forment un groupe multiplicatif G dont le nombre
d’´ el´ ements est 2
r
− 1. Chaque ´ el´ ement non nul y engendre un sous-groupe fini H =
{y
i
| i ∈ N}. (H est fini puisque sous-groupe de G fini.) Le th´ eor` eme de Lagrange
(th´ eor` eme 7.18 du chapitre 7) dit que le nombre d’´ el´ ements de H divise le nombre
d’´ el´ ements de G. De plus, comme H est fini, il existe s minimum tel que y
s = 1. Ce
s, appel´ e l’ordre de y, est ´ egal au nombre d’´ el´ ements de H. Donc, y est racine du
polynˆ ome x
s + 1 = 0. Comme s | 2
r
− 1, alors y est racine de R(x) = x
2
r −1 + 1.
(exercice : pourquoi ?) On vient donc de montrer que tout ´ el´ ement de G est racine
du polynˆ ome R(x) = x
2
r −1 + 1. Supposons maintenant qu’il existe m, un diviseur
strict de 2
r
− 1 tel que l’ordre de tout ´ el´ ement de G divise m. Alors, tout ´ el´ ement
de G est racine du polynˆ ome x
m + 1 = 0. Contradiction, car ce polynˆ ome n’a que m
racines. Donc, il existe des y i d’ordre m i , i = 1, . . . , n, tels que le plus petit commun
multiple des m i soit ´ egal `
a 2
r
− 1. Alors, le produit y 1 . . . y n = α est d’ordre 2
r
− 1
(voir lemme 7.23 du chapitre 7).
3. Nous admettrons que les ´ el´ ements {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants
dans l’espace vectoriel F
r
2 qui est isomorphe ` a F 2 r .
4. Les vecteurs {1, α, . . . , α
r
} sont lin´ eairement d´ ependants, car un ensemble de r + 1
vecteurs dans un espace de dimension r est toujours lin´ eairement d´ ependant. Comme
les vecteurs {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants, il existe des coefficients
q 0 , . . . , q r−1 tels que α
r = q 0 + q 1 α + · · ·+ q r−1 α
r−1 . Donc, α est racine du polynˆ ome
Q(x) = x
r + q r−1 x
r−1 + · · · + q 1 x + q 0 . Ce polynˆ ome est irr´ eductible sur F 2 . Sinon,
α serait racine d’un polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ` a r, ce qui serait en contradiction
avec le fait que {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants dans F
r
2 .
Cons´ equence On aurait pu choisir de d´ ecrire le corps F 2 r avec le polynˆ ome Q(x)
plutˆ ot qu’avec le polynˆ ome P (x). L’avantage de cette derni` ere description est qu’elle
nous permet de prendre α = x comme racine primitive. Attention : les puissances x
i ,
i ≥ r, ne sont pas d´ efinies de la mˆ eme mani` ere suivant qu’on utilise la multiplication
modulo P (x) ou modulo Q(x) !
D´ efinition 1.9 La fonction trace du corps F 2 r est la fonction T : F 2 r → F 2 d´ efinie par
T (b r−1 x
r−1 + · · · + b 1 x + b 0 ) = b r−1 .
Proposition 1.10 La fonction T est lin´ eaire et surjective. Elle prend la valeur 0 sur
exactement la moiti´ e des ´ el´ ements de F 2 r et la valeur 1 sur l’autre moiti´ e.
Preuve Exercice !
1 Positionnement
1. La preuve est identique ` a la preuve du fait que F p (aussi appel´ e Z p ) est un corps
si p est premier (voir exercice 24 du chapitre 6). On utilise pour cela l’algorithme
d’Euclide pour les polynˆ omes qui permet de trouver le plus grand diviseur commun
de deux polynˆ omes.
2. Les ´ el´ ements non nuls de F 2 r forment un groupe multiplicatif G dont le nombre
d’´ el´ ements est 2
r
− 1. Chaque ´ el´ ement non nul y engendre un sous-groupe fini H =
{y
i
| i ∈ N}. (H est fini puisque sous-groupe de G fini.) Le th´ eor` eme de Lagrange
(th´ eor` eme 7.18 du chapitre 7) dit que le nombre d’´ el´ ements de H divise le nombre
d’´ el´ ements de G. De plus, comme H est fini, il existe s minimum tel que y
s = 1. Ce
s, appel´ e l’ordre de y, est ´ egal au nombre d’´ el´ ements de H. Donc, y est racine du
polynˆ ome x
s + 1 = 0. Comme s | 2
r
− 1, alors y est racine de R(x) = x
2
r −1 + 1.
(exercice : pourquoi ?) On vient donc de montrer que tout ´ el´ ement de G est racine
du polynˆ ome R(x) = x
2
r −1 + 1. Supposons maintenant qu’il existe m, un diviseur
strict de 2
r
− 1 tel que l’ordre de tout ´ el´ ement de G divise m. Alors, tout ´ el´ ement
de G est racine du polynˆ ome x
m + 1 = 0. Contradiction, car ce polynˆ ome n’a que m
racines. Donc, il existe des y i d’ordre m i , i = 1, . . . , n, tels que le plus petit commun
multiple des m i soit ´ egal `
a 2
r
− 1. Alors, le produit y 1 . . . y n = α est d’ordre 2
r
− 1
(voir lemme 7.23 du chapitre 7).
3. Nous admettrons que les ´ el´ ements {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants
dans l’espace vectoriel F
r
2 qui est isomorphe ` a F 2 r .
4. Les vecteurs {1, α, . . . , α
r
} sont lin´ eairement d´ ependants, car un ensemble de r + 1
vecteurs dans un espace de dimension r est toujours lin´ eairement d´ ependant. Comme
les vecteurs {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants, il existe des coefficients
q 0 , . . . , q r−1 tels que α
r = q 0 + q 1 α + · · ·+ q r−1 α
r−1 . Donc, α est racine du polynˆ ome
Q(x) = x
r + q r−1 x
r−1 + · · · + q 1 x + q 0 . Ce polynˆ ome est irr´ eductible sur F 2 . Sinon,
α serait racine d’un polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ` a r, ce qui serait en contradiction
avec le fait que {1, α, . . . , α
r−1
} sont lin´ eairement ind´ ependants dans F
r
2 .
Cons´ equence On aurait pu choisir de d´ ecrire le corps F 2 r avec le polynˆ ome Q(x)
plutˆ ot qu’avec le polynˆ ome P (x). L’avantage de cette derni` ere description est qu’elle
nous permet de prendre α = x comme racine primitive. Attention : les puissances x
i ,
i ≥ r, ne sont pas d´ efinies de la mˆ eme mani` ere suivant qu’on utilise la multiplication
modulo P (x) ou modulo Q(x) !
D´ efinition 1.9 La fonction trace du corps F 2 r est la fonction T : F 2 r → F 2 d´ efinie par
T (b r−1 x
r−1 + · · · + b 1 x + b 0 ) = b r−1 .
Proposition 1.10 La fonction T est lin´ eaire et surjective. Elle prend la valeur 0 sur
exactement la moiti´ e des ´ el´ ements de F 2 r et la valeur 1 sur l’autre moiti´ e.
Preuve Exercice !