12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
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La premi` ere est tr` es simple, car si l = 0 :
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
=
1
N
N −1
i=0
1 =
N
N
= 1.
Puisque nous d´ esirons montrer que S jk est nul sauf lorsque j = k (et alors S jj = 1),
la preuve sera termin´ ee si nous prouvons que les sommes (12.14) et (12.15) sont nulles.
Pour (12.14), rappelons que la somme
2N −1
i=0
e
2πil
√ −1/2N =
e
2πl·2N
√
−1/2N
− 1
e 2πl
√
−1/2N − 1
= 0
(12.16)
si e
2πl
√
−1/2N
= 1. Si l < 2N , cette in´ egalit´ e est toujours satisfaite. En prenant la partie
r´ eelle de (12.16), on trouve
2N −1
i=0
cos
2πil
2N
= 0.
La somme contient deux fois plus de termes que (12.14). On peut cependant la r´ e´ ecrire :
0 =
2N −1
i=0
cos
2πil
2N
=
N −1
i=0
cos
2πil
2N
+
2N −1
i=N
cos
2πil
2N
=
N −1
i=0
cos
2πil
2N
+
N −1
j=0
cos
2π(j + N )l
2N
,
pour i = j + N,
=
N −1
i=0
cos
2πil
2N
+
N −1
j=0
cos
2πjl
2N
+
2πN l
2N
.
Si l est pair, la phase
2πN l
2N = πl est un multiple pair de π et peut donc ˆ etre oubli´ ee
puisque la fonction cosinus est p´ eriodique de p´ eriode 2π. Donc,
0 =
N −1
i=0
cos
2πil
2N
+
N −1
j=0
cos
2πjl
2N
= 2
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
et la somme (12.14) est nulle.
Remarquons que le premier terme i = 0 de la somme (12.15) est
1
N
cos
2π · 0 · l
2N
=
1
N