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qui annule le terme −
1
N . Ainsi la somme (12.15) est ´ egale `
a
N −1
i=1
cos
2πil
2N
.
Il faut maintenant diviser le cas (12.15) en deux sous-cas, N impair et N pair. Nous
allons s´ eparer la somme
N −1
i=1 cos
2πil
2N comme suit
N impair
N −1
2
i=1
cos
2πil
2N
et
N −1
i=
N −1
2 +1
cos
2πil
2N
N pair
le terme i =
N
2
,
N
2 −1
i=1
cos
2πil
2N
et
N −1
i=
N
2 +1
cos
2πil
2N
.
Commen¸ cons par ce dernier sous-cas. Si N est pair, alors pour i = N/2, on a
cos
2π
2N
·
N
2
· l = cos
π
2
l = 0,
car l est impair. Restent les deux sommes. R´ e´ ecrivons la seconde en posant j = N − i.
Puisque
N
2 + 1 ≤ i ≤ N − 1, le domaine de j est 1 ≤ j ≤
N
2 − 1 :
N −1
i=
N
2 +1
cos
2πil
2N
=
N
2 −1
j=1
cos
2π(N − j)l
2N
=
N
2 −1
j=1
cos
πl −
2πjl
2N
.
Puisque l est impair, la phase πl est toujours un multiple impair de π, et
N −1
i=
N
2 +1
cos
2πil
2N
=
N
2 −1
j=1
− cos
−
2πjl
2N
.
La fonction cosinus ´ etant paire, on a finalement
N −1
i=
N
2 +1
cos
2πil
2N
= −
N
2 −1
j=1
cos
2πjl
2N
,
et les deux sommes de ce sous-cas s’annulent l’une l’autre. Le sous-cas (12.15), soit N
impair, est laiss´ e en exercice.