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12 Compression d’images : le standard JPEG
Puisque δ
2
i = 1 si i = 0 et que δ
2
i = 2 autrement, nous pouvons ajouter le terme i = 0
et le soustraire pour obtenir
S jk =
1
N
N −1
i=0
cos
2πi(j + k + 1)
2N
+ cos
2πi(j − k)
2N
−
1
N
.
Nous divisons l’´ etude en trois cas : j = k, j − k pair mais non nul, j − k impair.
Remarquons que (j − k) et (j + k + 1) sont toujours de parit´ e distincte. Nous ´ etudierons
ces trois cas en s´ eparant les sommes et le terme −
1
N comme suit :
j = k On pose S jk = S 1 + S 2 o` u
S 1 = −
1
N
+
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
S 2 =
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l = j + k + 1 est impair,
o` u l = j − k = 0,
j − k pair et j = k S jk = S 1 + S 2 o` u
S 1 = −
1
N
+
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
S 2 =
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l = j + k + 1 est impair,
o` u l = j − k est pair et non nul,
j − k impair S jk = S 1 + S 2 o` u
S 1 =
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
S 2 = −
1
N
+
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l = j + k + 1 est pair,
o` u l = j − k est impair.
non nul et < 2N ,
Il y a donc trois sommes distinctes ` a ´ etudier :
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l = 0,
(12.13)
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l est pair, non nul et < 2N,
(12.14)
−
1
N
+
1
N
N −1
i=0
cos
2πil
2N
,
o` u l est impair.
(12.15)