12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
395
α 01 = 351,77. Que peut bien signifier un α kl n´ egatif ? Le coefficient α 12 = −264,52 l’est,
et il nous donne la r´ eponse. L’´ el´ ement de base A 12 poss` ede six r´ egions contrastantes
pˆ ales et fonc´ ees, trois en haut et trois en bas. Remarquons que deux plages fonc´ ees,
celle du haut au centre et celle du bas ` a gauche, couvrent les deux poils blancs du
bloc 8 × 8. Si on multiplie par −1 cet ´ el´ ement de base, les plages fonc´ ees et pˆ ales sont
´ echang´ ees et −A 12 d´ ecrit assez bien les poils blancs obliques sur le fond noir. C’est
pour cela que le coefficient (n´ egatif) α 12 est important. Il est fastidieux de r´ ep´ eter ce
calcul « visuel ». Apr` es tout, les formules (12.6) peuvent ˆ etre enseign´ ees ais´ ement `
a un
ordinateur. Cependant, cette analyse permet de comprendre la r` egle intuitive suivante :
le coefficient α kl associ´ e `
a une fonction f est important si les variations de A kl sont
semblables ` a celles de f . Un coefficient n´ egatif indique que les variations de f sont
semblables `
a celles de A kl si on ´ echange les gris fonc´ es et les gris pˆ ales. Ainsi, `
a un
extrˆ eme, les A 00 , A 01 , A 10 repr´ esentent bien des fonctions presque constantes, et `
a l’autre
extrˆ eme, les A 67 , A 76 et A 77 , des fonctions `
a variations rapides.
Preuve de l’orthogonalit´ e de la matrice C (12.12) Pour d´ emontrer ce fait
surprenant, r´ e´ ecrivons l’identit´ e C
t C = I en termes de ses ´ el´ ements de matrice :
[C
t C] jk =
N −1
i=0
[C
t ] ji [C] ik =
N −1
i=0
[C] ij [C] ik = δ jk =
1 si j = k,
0 sinon,
ou encore,
[C
t C] jk =
N −1
i=0
δ
2
i
N
cos
i(2j + 1)π
2N
cos
i(2k + 1)π
2N
= δ jk .
(12.12)
D´ emontrer (12.12) ´ equivaut ` a d´ emontrer (12.10), soit l’orthogonalit´ e de C, ce qui implique l’inversibilit´ e de (12.6). La preuve qui suit n’est pas difficile, mais elle contient
plusieurs cas et sous-cas qui doivent ˆ etre ´ etudi´ es m´ eticuleusement.
D´ eveloppons le produit de cosinus de (12.12) en utilisant l’identit´ e trigonom´ etrique
cos α cos β =
1
2
cos(α + β) +
1
2
cos(α − β).
Appelons S jk = [C
t C] jk . Nous avons donc
S jk =
N −1
i=0
δ
2
i
N
cos
i(2j + 1)π
2N
cos
i(2k + 1)π
2N
=
N −1
i=0
δ
2
i
2N
cos
i(2j + 2k + 2)π
2N
+ cos
i(2j − 2k)π
2N
=
N −1
i=0
δ
2
i
2N
cos
2πi(j + k + 1)
2N
+ cos
2πi(j − k)
2N
.
395
α 01 = 351,77. Que peut bien signifier un α kl n´ egatif ? Le coefficient α 12 = −264,52 l’est,
et il nous donne la r´ eponse. L’´ el´ ement de base A 12 poss` ede six r´ egions contrastantes
pˆ ales et fonc´ ees, trois en haut et trois en bas. Remarquons que deux plages fonc´ ees,
celle du haut au centre et celle du bas ` a gauche, couvrent les deux poils blancs du
bloc 8 × 8. Si on multiplie par −1 cet ´ el´ ement de base, les plages fonc´ ees et pˆ ales sont
´ echang´ ees et −A 12 d´ ecrit assez bien les poils blancs obliques sur le fond noir. C’est
pour cela que le coefficient (n´ egatif) α 12 est important. Il est fastidieux de r´ ep´ eter ce
calcul « visuel ». Apr` es tout, les formules (12.6) peuvent ˆ etre enseign´ ees ais´ ement `
a un
ordinateur. Cependant, cette analyse permet de comprendre la r` egle intuitive suivante :
le coefficient α kl associ´ e `
a une fonction f est important si les variations de A kl sont
semblables ` a celles de f . Un coefficient n´ egatif indique que les variations de f sont
semblables `
a celles de A kl si on ´ echange les gris fonc´ es et les gris pˆ ales. Ainsi, `
a un
extrˆ eme, les A 00 , A 01 , A 10 repr´ esentent bien des fonctions presque constantes, et `
a l’autre
extrˆ eme, les A 67 , A 76 et A 77 , des fonctions `
a variations rapides.
Preuve de l’orthogonalit´ e de la matrice C (12.12) Pour d´ emontrer ce fait
surprenant, r´ e´ ecrivons l’identit´ e C
t C = I en termes de ses ´ el´ ements de matrice :
[C
t C] jk =
N −1
i=0
[C
t ] ji [C] ik =
N −1
i=0
[C] ij [C] ik = δ jk =
1 si j = k,
0 sinon,
ou encore,
[C
t C] jk =
N −1
i=0
δ
2
i
N
cos
i(2j + 1)π
2N
cos
i(2k + 1)π
2N
= δ jk .
(12.12)
D´ emontrer (12.12) ´ equivaut ` a d´ emontrer (12.10), soit l’orthogonalit´ e de C, ce qui implique l’inversibilit´ e de (12.6). La preuve qui suit n’est pas difficile, mais elle contient
plusieurs cas et sous-cas qui doivent ˆ etre ´ etudi´ es m´ eticuleusement.
D´ eveloppons le produit de cosinus de (12.12) en utilisant l’identit´ e trigonom´ etrique
cos α cos β =
1
2
cos(α + β) +
1
2
cos(α − β).
Appelons S jk = [C
t C] jk . Nous avons donc
S jk =
N −1
i=0
δ
2
i
N
cos
i(2j + 1)π
2N
cos
i(2k + 1)π
2N
=
N −1
i=0
δ
2
i
2N
cos
i(2j + 2k + 2)π
2N
+ cos
i(2j − 2k)π
2N
=
N −1
i=0
δ
2
i
2N
cos
2πi(j + k + 1)
2N
+ cos
2πi(j − k)
2N
.