392
12 Compression d’images : le standard JPEG
681,63
351,77
−8,671
54,194
27,63
−55,11
−23,87 −15,74
144,58
−94,65 −264,52
5,864
7,660
−89,93
−24,28 −12,13
−31,78 −109,77
9,861
216,16
29,88 −108,14
−36,07 −24,40
23,34
12,04
53,83
21,91 −203,72 −167,39
0,197
0,389
−18,13
−40,35
−19,88 −35,83
−96,63
47,27
119,58
36,12
11,26
9,743
24,22 −0,618
0,0879
47,44 −0,0967 −23,99
0,0393
−12,14
0,182 −11,78 −0,0625
0,540
0,139
0,197
0,572
−0,361
0,138 −0,547
−0,520
−0,268
−0,565
0,305
Tab. 12.3. Les 64 coefficients α kl de la fonction f
Cette forme peut ˆ etre r´ einterpr´ et´ ee comme suit. Soit A kl la matrice N × N dont les
´ el´ ements de matrice sont [A kl ] ij = c ki c lj . Alors, f est une combinaison lin´ eaire des
matrices A kl avec poids α kl . Ainsi, l’ensemble des N
2 matrices {A kl , 0 ≤ k, l ≤ N − 1}
forme une base dans laquelle la fonction f est exprim´ ee. Pour nous, N = 8. Nous
avons repr´ esent´ e les 64 matrices A kl graphiquement `
a la figure 12.5. La matrice A 00
est dans le coin sup´ erieur gauche, et A 77 , dans le coin inf´ erieur droit. Pour repr´ esenter
graphiquement ces ´ el´ ements de la base, nous devons associer des niveaux de gris (et
donc, des ´ el´ ements de {0, . . . , 255}) ` a chacune de leurs entr´ ees. Ceci est fait ` a l’aide des
deux ´ etapes suivantes. Tout d’abord, nous rempla¸ cons les [A kl ] ij par
[ ˜
A kl ] ij =
N
δ k δ l
[A kl ] ij ,
o` u les δ k and δ l sont donn´ es par (12.8). Cette transformation assure que les nouveaux
[ ˜
A kl ] ij ∈ [−1, 1]. Puis nous appliquons la transformation affine aff 2 introduite en (12.2)
` a chaque ´ el´ ement pour obtenir
[B kl ] ij = aff 2 ([ ˜
A kl ] ij ) =
255
2
([ ˜
A kl ] ij + 1)
.
Ces [B kl ] ij peuvent ˆ etre interpr´ et´ es comme des tons de gris puisque 0 ≤ [B kl ] ij ≤ 255.
Ce sont eux qui sont repr´ esent´ es sur les figures.
Il est possible de comprendre les repr´ esentations graphiques des A kl ` a partir de leur
d´ efinition. Voici, par exemple, les d´ etails de la construction de l’´ el´ ement A 23 de la base
[A 23 ] ij =
2
N
cos
2(2i + 1)π
2N
cos
3(2j + 1)π
2N
.
Pour N = 8, nous avons repr´ esent´ e, au haut de la figure 12.6, la fonction
cos
3(2j + 1)π
16
,
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−23,87 −15,74
144,58
−94,65 −264,52
5,864
7,660
−89,93
−24,28 −12,13
−31,78 −109,77
9,861
216,16
29,88 −108,14
−36,07 −24,40
23,34
12,04
53,83
21,91 −203,72 −167,39
0,197
0,389
−18,13
−40,35
−19,88 −35,83
−96,63
47,27
119,58
36,12
11,26
9,743
24,22 −0,618
0,0879
47,44 −0,0967 −23,99
0,0393
−12,14
0,182 −11,78 −0,0625
0,540
0,139
0,197
0,572
−0,361
0,138 −0,547
−0,520
−0,268
−0,565
0,305
Tab. 12.3. Les 64 coefficients α kl de la fonction f
Cette forme peut ˆ etre r´ einterpr´ et´ ee comme suit. Soit A kl la matrice N × N dont les
´ el´ ements de matrice sont [A kl ] ij = c ki c lj . Alors, f est une combinaison lin´ eaire des
matrices A kl avec poids α kl . Ainsi, l’ensemble des N
2 matrices {A kl , 0 ≤ k, l ≤ N − 1}
forme une base dans laquelle la fonction f est exprim´ ee. Pour nous, N = 8. Nous
avons repr´ esent´ e les 64 matrices A kl graphiquement `
a la figure 12.5. La matrice A 00
est dans le coin sup´ erieur gauche, et A 77 , dans le coin inf´ erieur droit. Pour repr´ esenter
graphiquement ces ´ el´ ements de la base, nous devons associer des niveaux de gris (et
donc, des ´ el´ ements de {0, . . . , 255}) ` a chacune de leurs entr´ ees. Ceci est fait ` a l’aide des
deux ´ etapes suivantes. Tout d’abord, nous rempla¸ cons les [A kl ] ij par
[ ˜
A kl ] ij =
N
δ k δ l
[A kl ] ij ,
o` u les δ k and δ l sont donn´ es par (12.8). Cette transformation assure que les nouveaux
[ ˜
A kl ] ij ∈ [−1, 1]. Puis nous appliquons la transformation affine aff 2 introduite en (12.2)
` a chaque ´ el´ ement pour obtenir
[B kl ] ij = aff 2 ([ ˜
A kl ] ij ) =
255
2
([ ˜
A kl ] ij + 1)
.
Ces [B kl ] ij peuvent ˆ etre interpr´ et´ es comme des tons de gris puisque 0 ≤ [B kl ] ij ≤ 255.
Ce sont eux qui sont repr´ esent´ es sur les figures.
Il est possible de comprendre les repr´ esentations graphiques des A kl ` a partir de leur
d´ efinition. Voici, par exemple, les d´ etails de la construction de l’´ el´ ement A 23 de la base
[A 23 ] ij =
2
N
cos
2(2i + 1)π
2N
cos
3(2j + 1)π
2N
.
Pour N = 8, nous avons repr´ esent´ e, au haut de la figure 12.6, la fonction
cos
3(2j + 1)π
16
,