12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
391
C
t = C
−1 .
(12.10)
Cette observation simplifie les calculs, car l’expression ci-dessus pour f devient
f = C
t αC.
(12.11)
Nous donnerons la preuve de cette propri´ et´ e ` a la fin de la section.
Pour l’instant, acceptons ce fait et donnons un exemple de la transformation f → α.
Pour cela, nous utiliserons les tons de gris d´ efinis par le bloc 8 × 8 de la figure 12.1.
Les f ij , 0 ≤ i, j ≤ 7, sont donn´ es ` a la table 12.2 ci-contre. `
A nouveau, la position des
pixels (gauche/droite, haut/bas) dans le zoom de la figure 12.1 correspond ` a la position
des tons de gris de la table. Et 0 = noir et 255 = blanc. Les grands nombres (> 150)
de cette table correspondent aux deux poils de moustache (blancs) de la chatte. La
caract´ eristique saillante du bloc 8 × 8 est la pr´ esence de deux diagonales voisines, l’une
tr` es pˆ ale, l’autre tr` es fonc´ ee. Nous verrons comment ce contraste influence les coefficients
α de cette fonction.
Les α kl de la fonction f de la table 12.2 sont donn´ es ` a la table 12.3. Ils sont
repr´ esent´ es dans le mˆ eme ordre que pr´ ec´ edemment : le premier ´ el´ ement α 00 est en
haut `
a gauche, et l’´ el´ ement α 07 , en haut `
a droite. Aucun n’est strictement nul, mais on
voit que les coefficients les plus importants en valeur absolue sont α 00 , α 01 , α 12 , α 23 . . .
Pour pouvoir interpr´ eter ces nombres, il faut une meilleure compr´ ehension « visuelle »
des ´ el´ ements de la nouvelle base B
. Ceci est notre prochain but.
Revenons aux expressions du changement de base :
α = Cf C
t
et
f = C
t αC.
En coordonn´ ees, la relation donnant f en termes de α est
f ij =
N −1
k,l=0
α kl (c ki c lj ).
40 193
89
37 209 236 41 14
102 165
36 150 247 104
7 19
157
92
88 251 156
3 20 35
153
75 220 193
29
13 34 22
116 173 240
54
11
38 20 19
162 255 109
9
26
22 20 29
237 182
5
28
20
15 28 20
222
33
8
23
24
29 23 23
Tab. 12.2. Les 64 valeurs de la fonction f
391
C
t = C
−1 .
(12.10)
Cette observation simplifie les calculs, car l’expression ci-dessus pour f devient
f = C
t αC.
(12.11)
Nous donnerons la preuve de cette propri´ et´ e ` a la fin de la section.
Pour l’instant, acceptons ce fait et donnons un exemple de la transformation f → α.
Pour cela, nous utiliserons les tons de gris d´ efinis par le bloc 8 × 8 de la figure 12.1.
Les f ij , 0 ≤ i, j ≤ 7, sont donn´ es ` a la table 12.2 ci-contre. `
A nouveau, la position des
pixels (gauche/droite, haut/bas) dans le zoom de la figure 12.1 correspond ` a la position
des tons de gris de la table. Et 0 = noir et 255 = blanc. Les grands nombres (> 150)
de cette table correspondent aux deux poils de moustache (blancs) de la chatte. La
caract´ eristique saillante du bloc 8 × 8 est la pr´ esence de deux diagonales voisines, l’une
tr` es pˆ ale, l’autre tr` es fonc´ ee. Nous verrons comment ce contraste influence les coefficients
α de cette fonction.
Les α kl de la fonction f de la table 12.2 sont donn´ es ` a la table 12.3. Ils sont
repr´ esent´ es dans le mˆ eme ordre que pr´ ec´ edemment : le premier ´ el´ ement α 00 est en
haut `
a gauche, et l’´ el´ ement α 07 , en haut `
a droite. Aucun n’est strictement nul, mais on
voit que les coefficients les plus importants en valeur absolue sont α 00 , α 01 , α 12 , α 23 . . .
Pour pouvoir interpr´ eter ces nombres, il faut une meilleure compr´ ehension « visuelle »
des ´ el´ ements de la nouvelle base B
. Ceci est notre prochain but.
Revenons aux expressions du changement de base :
α = Cf C
t
et
f = C
t αC.
En coordonn´ ees, la relation donnant f en termes de α est
f ij =
N −1
k,l=0
α kl (c ki c lj ).
40 193
89
37 209 236 41 14
102 165
36 150 247 104
7 19
157
92
88 251 156
3 20 35
153
75 220 193
29
13 34 22
116 173 240
54
11
38 20 19
162 255 109
9
26
22 20 29
237 182
5
28
20
15 28 20
222
33
8
23
24
29 23 23
Tab. 12.2. Les 64 valeurs de la fonction f