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12 Compression d’images : le standard JPEG
C =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
N
1
N
. . .
1
N
2
N cos
π
2N
2
N cos
3π
2N
. . .
2
N cos
(2N −1)π
2N
2
N cos
2π
2N
2
N cos
6π
2N
. . .
2
N cos
2(2N −1)π
2N
. . .
. . .
. . .
. . .
2
N cos
(N −1)π
2N
2
N cos
3(N −1)π
2N
. . .
2
N cos
(2N −1)(N −1)π
2N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
la transformation (12.6) prend en effet la forme matricielle
α = Cf C
t ,
(12.9)
o` u C
t d´ enote la transpos´ ee de la matrice C. En effet,
α kl = [α] kl = [Cf C
t ] kl =
N −1
i,j=0
[C] ki [f ] ij [C
t ] jl =
N −1
i,j=0
c ki f ij c lj ,
qui est bien (12.6). Cette nouvelle forme permet de v´ erifier facilement que f → α est
une transformation lin´ eaire. En effet, supposons que f 1 et f 2 soient envoy´ es en α 1 et α 2
par (12.9) (et donc que α 1 = Cf 1 C
t et α 2 = Cf 2 C
t ). Alors,
C(f 1 + f 2 )C
t = Cf 1 C
t + Cf 2 C
t = α 1 + α 2
d´ ecoule imm´ ediatement de la distributivit´ e de la multiplication matricielle. Et si c ∈ R,
alors
C(cf 1 )C
t = c(Cf 1 C
t ) = cα 1 .
Les deux identit´ es pr´ ec´ edentes sont pr´ ecis´ ement les propri´ et´ es d´ efinissant les transformations lin´ eaires.
Cette transformation sera un isomorphisme si la matrice C est inversible. (Il sera
montr´ e par la suite que c’est le cas.) On pourra donc ´ ecrire
f = C
−1 α(C
t )
−1
et r´ ecup´ erer la valeur des f ij , i, j = 0, 1, . . . , N − 1, `
a partir de la valeur des α kl , k, l =
0, 1, . . . , N − 1. Et puisque cette transformation est aussi une transformation lin´ eaire,
c’est un changement de base ! Notons que la transformation de f ` a α n’est pas exprim´ ee
par une matrice de passage [P ] B B comme dans la section pr´ ec´ edente. Mais l’alg` ebre
lin´ eaire nous assure qu’une telle transformation f → α peut ˆ etre ´ ecrite ` a l’aide d’une
telle matrice. (Si les deux indices de f prennent leurs valeurs dans {0, 1, . . . , N − 1}, il
y a donc N
2 coordonn´ ees f ij , et la matrice [P ] B B effectuant le changement de base est
N
2
× N
2 . La forme (12.9) a donc l’avantage de n’utiliser que des matrices N × N .)
La preuve de l’inversibilit´ e de C repose sur l’observation que C est une matrice
orthogonale :
12 Compression d’images : le standard JPEG
C =
⎛
⎜
⎜
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1
N
1
N
. . .
1
N
2
N cos
π
2N
2
N cos
3π
2N
. . .
2
N cos
(2N −1)π
2N
2
N cos
2π
2N
2
N cos
6π
2N
. . .
2
N cos
2(2N −1)π
2N
. . .
. . .
. . .
. . .
2
N cos
(N −1)π
2N
2
N cos
3(N −1)π
2N
. . .
2
N cos
(2N −1)(N −1)π
2N
⎞
⎟
⎟
⎟
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⎠
,
la transformation (12.6) prend en effet la forme matricielle
α = Cf C
t ,
(12.9)
o` u C
t d´ enote la transpos´ ee de la matrice C. En effet,
α kl = [α] kl = [Cf C
t ] kl =
N −1
i,j=0
[C] ki [f ] ij [C
t ] jl =
N −1
i,j=0
c ki f ij c lj ,
qui est bien (12.6). Cette nouvelle forme permet de v´ erifier facilement que f → α est
une transformation lin´ eaire. En effet, supposons que f 1 et f 2 soient envoy´ es en α 1 et α 2
par (12.9) (et donc que α 1 = Cf 1 C
t et α 2 = Cf 2 C
t ). Alors,
C(f 1 + f 2 )C
t = Cf 1 C
t + Cf 2 C
t = α 1 + α 2
d´ ecoule imm´ ediatement de la distributivit´ e de la multiplication matricielle. Et si c ∈ R,
alors
C(cf 1 )C
t = c(Cf 1 C
t ) = cα 1 .
Les deux identit´ es pr´ ec´ edentes sont pr´ ecis´ ement les propri´ et´ es d´ efinissant les transformations lin´ eaires.
Cette transformation sera un isomorphisme si la matrice C est inversible. (Il sera
montr´ e par la suite que c’est le cas.) On pourra donc ´ ecrire
f = C
−1 α(C
t )
−1
et r´ ecup´ erer la valeur des f ij , i, j = 0, 1, . . . , N − 1, `
a partir de la valeur des α kl , k, l =
0, 1, . . . , N − 1. Et puisque cette transformation est aussi une transformation lin´ eaire,
c’est un changement de base ! Notons que la transformation de f ` a α n’est pas exprim´ ee
par une matrice de passage [P ] B B comme dans la section pr´ ec´ edente. Mais l’alg` ebre
lin´ eaire nous assure qu’une telle transformation f → α peut ˆ etre ´ ecrite ` a l’aide d’une
telle matrice. (Si les deux indices de f prennent leurs valeurs dans {0, 1, . . . , N − 1}, il
y a donc N
2 coordonn´ ees f ij , et la matrice [P ] B B effectuant le changement de base est
N
2
× N
2 . La forme (12.9) a donc l’avantage de n’utiliser que des matrices N × N .)
La preuve de l’inversibilit´ e de C repose sur l’observation que C est une matrice
orthogonale :