12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
389
12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
Le standard JPEG fractionne l’image num´ erique en carr´ es de 8 × 8 pixels. La base
B
qui met l’accent sur les contrastes plutˆ ot que sur les pixels individuels existe pour
toutes les dimensions des carr´ es N × N . Celle que nous avons introduite ` a la section
pr´ ec´ edente (N = 2) et celle utilis´ ee par JPEG (N = 8) en sont des cas particuliers.
La transformation en cosinus discr` ete
3 remplace la donn´ ee {f ij , i, j = 0, 1, 2, . . . ,
N − 1} d’une fonction ´ evalu´ ee sur un r´ eseau carr´ e contenant N × N points ´ egalement
espac´ es par la donn´ ee de coefficients α kl , k, l = 0, 1, . . . , N − 1. Les coefficients α kl sont
donn´ es par
α kl =
N −1
i,j=0
c ki c lj f ij ,
0 ≤ k, l ≤ N − 1,
(12.6)
o` u les c ij sont
c ij =
δ i
√
N
cos
i(2j + 1)π
2N
,
i,j = 0, 1, . . . , N − 1,
(12.7)
et
δ i =
1
si i = 0,
√
2 sinon.
(12.8)
(Exercice : assurez-vous que les coefficients c ij sont donn´ es, pour N = 2, par
C =
c 00 c 01
c 10 c 11
=
1
√
2
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
.
Est-il possible que la transformation (12.6) soit le changement de base de [g] B ` a [g] B
(´ equation (12.3)) donn´ e par l’inverse de la matrice [P ] BB de (12.5) ? Expliquer.)
Le passage (12.6) des {f ij } vers les {α kl } est une transformation lin´ eaire. C’est ce
que nous v´ erifions maintenant. Si on pose
α =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
α00
α01
. . .
α0,N−1
α10
α11
. . .
α1,N−1
. . .
. . .
. . .
. . .
αN−1,0 αN−1,1 . . . αN−1,N−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, f =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
f00
f01
. . .
f0,N−1
f10
f11
. . .
f1,N−1
. . .
. . .
. . .
. . .
fN−1,0 fN−1,1 . . . fN−1,N−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
et
3 La transformation en cosinus discr` ete est un exemple particulier d’une technique fondamentale en math´ ematiques nomm´ ee l’analyse de Fourier. Introduite au d´ ebut du XIX
e si` ecle
par Jean Baptiste Joseph Fourier pour ´ etudier la propagation de la chaleur, cette technique a
depuis envahi le monde du g´ enie. Elle joue ´ egalement un rˆ ole important au chapitre 10.
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12.4 Le cas du carr´ e de N × N pixels
Le standard JPEG fractionne l’image num´ erique en carr´ es de 8 × 8 pixels. La base
B
qui met l’accent sur les contrastes plutˆ ot que sur les pixels individuels existe pour
toutes les dimensions des carr´ es N × N . Celle que nous avons introduite ` a la section
pr´ ec´ edente (N = 2) et celle utilis´ ee par JPEG (N = 8) en sont des cas particuliers.
La transformation en cosinus discr` ete
3 remplace la donn´ ee {f ij , i, j = 0, 1, 2, . . . ,
N − 1} d’une fonction ´ evalu´ ee sur un r´ eseau carr´ e contenant N × N points ´ egalement
espac´ es par la donn´ ee de coefficients α kl , k, l = 0, 1, . . . , N − 1. Les coefficients α kl sont
donn´ es par
α kl =
N −1
i,j=0
c ki c lj f ij ,
0 ≤ k, l ≤ N − 1,
(12.6)
o` u les c ij sont
c ij =
δ i
√
N
cos
i(2j + 1)π
2N
,
i,j = 0, 1, . . . , N − 1,
(12.7)
et
δ i =
1
si i = 0,
√
2 sinon.
(12.8)
(Exercice : assurez-vous que les coefficients c ij sont donn´ es, pour N = 2, par
C =
c 00 c 01
c 10 c 11
=
1
√
2
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
.
Est-il possible que la transformation (12.6) soit le changement de base de [g] B ` a [g] B
(´ equation (12.3)) donn´ e par l’inverse de la matrice [P ] BB de (12.5) ? Expliquer.)
Le passage (12.6) des {f ij } vers les {α kl } est une transformation lin´ eaire. C’est ce
que nous v´ erifions maintenant. Si on pose
α =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
α00
α01
. . .
α0,N−1
α10
α11
. . .
α1,N−1
. . .
. . .
. . .
. . .
αN−1,0 αN−1,1 . . . αN−1,N−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, f =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
f00
f01
. . .
f0,N−1
f10
f11
. . .
f1,N−1
. . .
. . .
. . .
. . .
fN−1,0 fN−1,1 . . . fN−1,N−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
et
3 La transformation en cosinus discr` ete est un exemple particulier d’une technique fondamentale en math´ ematiques nomm´ ee l’analyse de Fourier. Introduite au d´ ebut du XIX
e si` ecle
par Jean Baptiste Joseph Fourier pour ´ etudier la propagation de la chaleur, cette technique a
depuis envahi le monde du g´ enie. Elle joue ´ egalement un rˆ ole important au chapitre 10.