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12 Compression d’images : le standard JPEG
Fig. 12.4. Les quatre ´ el´ ements de la base B
propos´ ee. (L’´ el´ ement A00 est en haut ` a gauche
et l’´ el´ ement A01, en haut ` a droite.)
Pour calculer [g] B , on a besoin de [P ] B B , c’est-` a-dire de l’inverse de [P ] BB . Ici la
matrice [P ] BB est orthogonale et donc,
[P ] B B = [P ]
−1
BB = [P ]
t
BB = [P ] BB .
La derni` ere ´ egalit´ e vient du fait que la matrice [P ] BB est sym´ etrique. (Exercice : une
matrice A est orthogonale si A
t A = AA
t = I. V´ erifier que P BB est effectivement
orthogonale.) Les composantes de f dans cette base sont simplement
[g] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
β 00
β 01
β 10
β 11
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
5
8
1
2
3
8
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
1
8
−
1
8
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Dans cette base, la plus grande composante est β 00 = 1 ; elle est le poids de A 00 qui
donne une importance ´ egale aux quatre pixels. En d’autres mots, cet ´ el´ ement de la
nouvelle base leur accorde le mˆ eme ton de gris. Les deux autres composantes non nulles,
beaucoup plus petites (β 10 = −β 11 =
1
8 ), contiennent l’information sur le petit contraste
entre les pixels de gauche et de droite, d’une part, et entre les deux pixels de la colonne
de droite, d’autre part. Le choix de cette base, qui souligne les contrastes entre les
pixels plutˆ ot que de donner l’information sur chacun des pixels de fa¸ con isol´ ee, est l’id´ ee
fondamentale du standard JPEG. L’utilisateur du standard pourra maintenant d´ ecider
quelles sont les composantes suffisamment grandes pour qu’elles soient conserv´ ees lors
de la compression. Quant aux autres, elles pourront simplement ˆ etre supprim´ ees.