12.3 Le cas du carr´ e de 2 × 2 pixels
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Fig. 12.3. Les quatre ´ el´ ements de la base B usuelle de R
4 repr´ esent´ es graphiquement
pouvoir reconnaˆ ıtre ais´ ement les carr´ es o` u tous les pixels sont pratiquement de la mˆ eme
couleur (ou du mˆ eme ton de gris). Pour cela, il serait plus utile de trouver une base
dans laquelle, si le carr´ e est monochrome (g 00 = g 01 = g 10 = g 11 ), une des composantes
β ij est tr` es importante alors que les autres sont petites. De plus, il faudrait que la base
puisse « d´ etecter » si des contrastes importants se produisent au sein du carr´ e 2 × 2.
Le standard JPEG propose une autre base B
= {A 00 , A 01 , A 10 , A 11 }. Tous les
´ el´ ements A ij de cette base peuvent ˆ etre exprim´ es dans la base originale d´ ecrite ` a la
figure 12.3. Voici leurs composantes dans la base B :
[A 00 ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
1
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
[A 01 ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
[A 10 ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
[A 11 ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
(12.4)
Les ´ el´ ements de cette nouvelle base sont repr´ esent´ es ` a la figure 12.4. Le premier ´ el´ ement
A 00 repr´ esente un carr´ e de couleur uniforme. Si le carr´ e 2 × 2 ´ etait pris dans un ciel
gris, seulement la composante selon A 00 serait non nulle. Les deux ´ el´ ements A 01 et A 10
repr´ esentent un contraste gauche/droite et haut/bas respectivement. Le dernier ´ el´ ement
A 11 repr´ esente un carr´ e dont chaque pixel contraste avec son voisin imm´ ediat comme
sur un ´ echiquier.
Connaissant l’expression des A ij dans la base originale, on obtient ais´ ement la matrice [P ] BB de changement de base de B
en B. En effet, ses vecteurs colonnes sont
donn´ es par les coordonn´ ees des vecteurs de B
dans la base B. La matrice de passage
est donc
[P ] BB = [P ]
−1
B B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ .
(12.5)