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12 Compression d’images : le standard JPEG
Fig. 12.2. Deux repr´ esentations graphiques de la fonction g = (g00, g01, g10, g11) = (
1
2
,
5
8
,
1
2
,
3
8
)
La seconde consiste ` a interpr´ eter les g ij , 0 ≤ i, j ≤ 1, comme une fonction de deux variables (i et j). La figure 12.2 repr´ esente la fonction g = (g 00 , g 01 , g 10 , g 11 ) = (
1
2 ,
5
8 ,
1
2 ,
3
8 )
selon les deux m´ ethodes que nous venons de d´ ecrire. Les composantes donnant les gris
de la colonne de gauche sont g 00 (haut) et g 10 (bas) et sont ´ egales. Celles de la colonne
de droite sont g 01 (en haut, le gris le plus pˆ ale, car =
5
8 ) et g 11 (en bas). En d’autres
mots, si nous utilisons la notation matricielle suivante
g =
g 00 g 01
g 10 g 11
,
les ´ el´ ements de matrice de g occupent les positions des pixels sur la figure 12.2. Sur le
graphique ` a droite, nous voyons les deux paliers de hauteur ´ egale (g 00 et g 10 ), le plus
bas (g 11 ) et le plus haut (g 01 ). Cet exemple a ´ et´ e choisi pour ses tons de gris voisins. Il
est donc assez typique d’un petit carr´ e 2 × 2 qui serait extrait d’une grande plage assez
uniforme dans une photo num´ erique. (En fait, plus la photo contient de pixels, plus les
d´ egrad´ es sont lents entre pixels voisins.)
Les coordonn´ ees (g 00 , g 01 , g 10 , g 11 ), ou de fa¸ con ´ equivalente les (f 00 , f 01 , f 10 , f 11 ),
repr´ esentent parfaitement la photographie dans le petit carr´ e 2× 2. (En d’autres termes,
aucune compression n’a ´ et´ e faite ` a ce point.) Ces coordonn´ ees sont celles dans la base
usuelle B dont chaque ´ el´ ement contient trois composantes nulles et une ´ egale `
a 1. Les
quatre ´ el´ ements de la base B sont repr´ esent´ es ` a la figure 12.3. Si nous effectuons un
changement de base
[g] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
g 00
g 01
g 10
g 11
⎞
⎟
⎟
⎠ → [g] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
β 00
β 01
β 10
β 11
⎞
⎟
⎟
⎠ = [P ] B B [g] B ,
(12.3)
les nouvelles coordonn´ ees β ij repr´ esenteront tout aussi bien le contenu (complet) du
carr´ e. Les coordonn´ ees g ij ne sont pas appropri´ ees pour notre but. En effet, nous voulons
12 Compression d’images : le standard JPEG
Fig. 12.2. Deux repr´ esentations graphiques de la fonction g = (g00, g01, g10, g11) = (
1
2
,
5
8
,
1
2
,
3
8
)
La seconde consiste ` a interpr´ eter les g ij , 0 ≤ i, j ≤ 1, comme une fonction de deux variables (i et j). La figure 12.2 repr´ esente la fonction g = (g 00 , g 01 , g 10 , g 11 ) = (
1
2 ,
5
8 ,
1
2 ,
3
8 )
selon les deux m´ ethodes que nous venons de d´ ecrire. Les composantes donnant les gris
de la colonne de gauche sont g 00 (haut) et g 10 (bas) et sont ´ egales. Celles de la colonne
de droite sont g 01 (en haut, le gris le plus pˆ ale, car =
5
8 ) et g 11 (en bas). En d’autres
mots, si nous utilisons la notation matricielle suivante
g =
g 00 g 01
g 10 g 11
,
les ´ el´ ements de matrice de g occupent les positions des pixels sur la figure 12.2. Sur le
graphique ` a droite, nous voyons les deux paliers de hauteur ´ egale (g 00 et g 10 ), le plus
bas (g 11 ) et le plus haut (g 01 ). Cet exemple a ´ et´ e choisi pour ses tons de gris voisins. Il
est donc assez typique d’un petit carr´ e 2 × 2 qui serait extrait d’une grande plage assez
uniforme dans une photo num´ erique. (En fait, plus la photo contient de pixels, plus les
d´ egrad´ es sont lents entre pixels voisins.)
Les coordonn´ ees (g 00 , g 01 , g 10 , g 11 ), ou de fa¸ con ´ equivalente les (f 00 , f 01 , f 10 , f 11 ),
repr´ esentent parfaitement la photographie dans le petit carr´ e 2× 2. (En d’autres termes,
aucune compression n’a ´ et´ e faite ` a ce point.) Ces coordonn´ ees sont celles dans la base
usuelle B dont chaque ´ el´ ement contient trois composantes nulles et une ´ egale `
a 1. Les
quatre ´ el´ ements de la base B sont repr´ esent´ es ` a la figure 12.3. Si nous effectuons un
changement de base
[g] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
g 00
g 01
g 10
g 11
⎞
⎟
⎟
⎠ → [g] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
β 00
β 01
β 10
β 11
⎞
⎟
⎟
⎠ = [P ] B B [g] B ,
(12.3)
les nouvelles coordonn´ ees β ij repr´ esenteront tout aussi bien le contenu (complet) du
carr´ e. Les coordonn´ ees g ij ne sont pas appropri´ ees pour notre but. En effet, nous voulons