12.3 Le cas du carr´ e de 2 × 2 pixels
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de l’intervalle r´ eel [−1, 1] ou de tout autre intervalle [−L, L] de R, les points n´ egatifs
proches de l’extr´ emit´ e inf´ erieure de l’intervalle correspondant aux gris fonc´ es et les points
positifs proches de l’extr´ emit´ e sup´ erieure, aux gris tr` es pˆ ales. L’origine serait alors un
gris correspondant ` a un ton entre les ´ echelons 127 et 128. Mˆ eme si ce changement d’origine et d’´ echelle est naturel, il n’est pas n´ ecessaire pour ce qui suit, et nous ne le ferons
pas. Nous ferons toutefois abstraction du fait que les nombres {0, 1, 2, . . . , 255} associ´ es
aux tons de gris lors de la num´ erisation sont des entiers et nous les traiterons comme
des nombres r´ eels. Le ton de chaque pixel sera donc rep´ er´ e par un nombre r´ eel, et pour
d´ ecrire compl` etement le carr´ e 2 × 2, il faudra quatre nombres r´ eels ou encore, un point
dans R
4 . (Si le carr´ e est N × N , il faudra un point dans R
N
2 .)
Pour ´ etiqueter ces coordonn´ ees, il est plus naturel de mettre deux indices, par
exemple i et j, chacun allant de 0 `
a 1 (ou de 0 `
a N − 1 pour le carr´ e N × N ). Le
premier indice rep` ere la ligne du pixel et le second, sa colonne. Par exemple, les valeurs
de la fonction f donnant les tons de gris sur le carr´ e 2 × 2 de la figure 12.2 sont
f =
f 00 f 01
f 10 f 11
=
191 207
191 175
.
Plusieurs des fonctions que nous ´ etudierons prendront leurs valeurs dans l’intervalle
[−1, 1] ; pour leur repr´ esentation graphique en tons de gris, nous utiliserons une transformation affine de [−1, 1] ` a [0, 255]. Cette fonction pourrait ˆ etre
aff 1 (x) = 255(x + 1)/2
(12.1)
ou
aff 2 (x) = [255(x + 1)/2],
(12.2)
o` u [x] d´ enote la partie enti` ere de x. (Cette derni` ere fonction sera utile si les valeurs de
f sont restreintes aux entiers de l’intervalle [0, 255]. Voir l’exercice 1.) Par la suite, nous
noterons par f les fonctions qui rep` erent les pixels par un nombre ∈ [0, 255] et par g
celles qui utilisent l’intervalle [−1, 1]. L’encadr´ e suivant r´ esume les deux notations entre
lesquelles nous oscillerons. La fonction g associ´ ee ` a la fonction f ci-dessus est donc
g =
g 00 g 01
g 10 g 11
=
1
2
5
8
1
2
3
8
.
f ij ∈ [0, 255] ⊂ Z
←→
g ij ∈ [−1, 1] ⊂ R
f ij = aff 2 (g ij ) o` u
aff 2 (x) =
255
2 (x + 1)
Nous allons repr´ esenter graphiquement l’image du carr´ e 2 × 2 de deux fa¸ cons
diff´ erentes. La premi` ere utilise les tons de gris qui apparaissent dans la photo originale.
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de l’intervalle r´ eel [−1, 1] ou de tout autre intervalle [−L, L] de R, les points n´ egatifs
proches de l’extr´ emit´ e inf´ erieure de l’intervalle correspondant aux gris fonc´ es et les points
positifs proches de l’extr´ emit´ e sup´ erieure, aux gris tr` es pˆ ales. L’origine serait alors un
gris correspondant ` a un ton entre les ´ echelons 127 et 128. Mˆ eme si ce changement d’origine et d’´ echelle est naturel, il n’est pas n´ ecessaire pour ce qui suit, et nous ne le ferons
pas. Nous ferons toutefois abstraction du fait que les nombres {0, 1, 2, . . . , 255} associ´ es
aux tons de gris lors de la num´ erisation sont des entiers et nous les traiterons comme
des nombres r´ eels. Le ton de chaque pixel sera donc rep´ er´ e par un nombre r´ eel, et pour
d´ ecrire compl` etement le carr´ e 2 × 2, il faudra quatre nombres r´ eels ou encore, un point
dans R
4 . (Si le carr´ e est N × N , il faudra un point dans R
N
2 .)
Pour ´ etiqueter ces coordonn´ ees, il est plus naturel de mettre deux indices, par
exemple i et j, chacun allant de 0 `
a 1 (ou de 0 `
a N − 1 pour le carr´ e N × N ). Le
premier indice rep` ere la ligne du pixel et le second, sa colonne. Par exemple, les valeurs
de la fonction f donnant les tons de gris sur le carr´ e 2 × 2 de la figure 12.2 sont
f =
f 00 f 01
f 10 f 11
=
191 207
191 175
.
Plusieurs des fonctions que nous ´ etudierons prendront leurs valeurs dans l’intervalle
[−1, 1] ; pour leur repr´ esentation graphique en tons de gris, nous utiliserons une transformation affine de [−1, 1] ` a [0, 255]. Cette fonction pourrait ˆ etre
aff 1 (x) = 255(x + 1)/2
(12.1)
ou
aff 2 (x) = [255(x + 1)/2],
(12.2)
o` u [x] d´ enote la partie enti` ere de x. (Cette derni` ere fonction sera utile si les valeurs de
f sont restreintes aux entiers de l’intervalle [0, 255]. Voir l’exercice 1.) Par la suite, nous
noterons par f les fonctions qui rep` erent les pixels par un nombre ∈ [0, 255] et par g
celles qui utilisent l’intervalle [−1, 1]. L’encadr´ e suivant r´ esume les deux notations entre
lesquelles nous oscillerons. La fonction g associ´ ee ` a la fonction f ci-dessus est donc
g =
g 00 g 01
g 10 g 11
=
1
2
5
8
1
2
3
8
.
f ij ∈ [0, 255] ⊂ Z
←→
g ij ∈ [−1, 1] ⊂ R
f ij = aff 2 (g ij ) o` u
aff 2 (x) =
255
2 (x + 1)
Nous allons repr´ esenter graphiquement l’image du carr´ e 2 × 2 de deux fa¸ cons
diff´ erentes. La premi` ere utilise les tons de gris qui apparaissent dans la photo originale.