11.8 Exercices
373
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 11.12. Exercice 1
6. Calculer la dimension fractale des fractales des exercices 1 (sauf a)), 2, 3 et 4.
(Dans certains cas, vous devrez recourir ` a une m´ ethode num´ erique.)
7. L’ensemble de Cantor est un sous-ensemble de l’intervalle [0, 1] qui est l’attracteur
du syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 }, o` u T 1 et T 2 sont deux contractions affines
d´ efinies par T 1 (x) = x/3 et T 2 (x) = x/3 + 2/3.
a) D´ ecrire l’ensemble de Cantor.
b) Le tracer (sur ordinateur, au besoin).
c) Montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble des nombres r´ eels dont l’´ ecriture
en base 3 est
0.a 1 a 2 . . . a n . . . ,
o` u a i ∈ {0, 2}.
d) Calculer sa dimension fractale.
8. Montrer que la dimension fractale du produit cart´ esien A 1 × A 2 est la somme des
dimensions fractales de A 1 et A 2 :
373
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 11.12. Exercice 1
6. Calculer la dimension fractale des fractales des exercices 1 (sauf a)), 2, 3 et 4.
(Dans certains cas, vous devrez recourir ` a une m´ ethode num´ erique.)
7. L’ensemble de Cantor est un sous-ensemble de l’intervalle [0, 1] qui est l’attracteur
du syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 }, o` u T 1 et T 2 sont deux contractions affines
d´ efinies par T 1 (x) = x/3 et T 2 (x) = x/3 + 2/3.
a) D´ ecrire l’ensemble de Cantor.
b) Le tracer (sur ordinateur, au besoin).
c) Montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble des nombres r´ eels dont l’´ ecriture
en base 3 est
0.a 1 a 2 . . . a n . . . ,
o` u a i ∈ {0, 2}.
d) Calculer sa dimension fractale.
8. Montrer que la dimension fractale du produit cart´ esien A 1 × A 2 est la somme des
dimensions fractales de A 1 et A 2 :