11.7 Une photographie comme attracteur
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Pour le bloc 32 × 32, il n’existe que 16 blocs 8 × 8, chacun devant ˆ etre transform´ e
par une des huit transformations orthogonales permises. (Comme ci-dessus, nous nous
limitons aux grands blocs dont le pixel sup´ erieur gauche a des coordonn´ ees qui sont
des multiples de 8.) Ceci constitue un alphabet de 16 × 8 = 128 patrons de tons de
gris parmi lesquels choisir. C’est relativement peu, mais au moins, le choix des grands
carr´ es et des transformations T i peut ˆ etre fait relativement rapidement. Apr` es avoir
obtenu la transformation T i pour chacun des 8 × 8 = 64 blocs 4 × 4, on peut proc´ eder `
a
la reconstruction. Le r´ esultat est montr´ e ` a la figure 11.10. Le bloc (a) de la figure 11.10
est l’original `
a reproduire. Pour la reconstruction, nous sommes partis de la fonction f
0
constante qui associe ` a chacun des 32 × 32 pixels le ton de gris 128, `
a mi-chemin entre
noir (0) et le blanc (255). Les autres blocs de la figure repr´ esentent la premi` ere it´ er´ ee
f
1 (b), la seconde f
2 (c) et la sixi` eme f
6 (d). La premi` ere surprise, facile `
a expliquer,
est le fait que l’it´ er´ ee f
1 ne semble ˆ etre constitu´ ee que de 8 × 8 pixels. Mais cette it´ er´ ee
contient bien 32 × 32 pixels comme la photographie `
a reproduire. Puisque chacun des
pixels des petits carr´ es C i est obtenu ` a partir de la mˆ eme r` egle s i z + g i et que tous les
tons de gris z de la fonction f
0 sont les mˆ emes, tous les pixels d’un petit carr´ e donn´ e
obtiennent le mˆ eme ton de gris dans f
1 . Et, pour la mˆ eme raison, les tons de gris de
f
2 sont les mˆ emes dans des blocs 2 × 2. D´ ej` a, nous voyons apparaˆ ıtre dans l’it´ er´ ee f
2
le bord de la table et la diagonale que font les deux poils blancs de la moustache de la
chatte. Les it´ er´ ees f
4 , f
5 et f
6 sont tr` es semblables. En fait, f
5 et f
6 sont presque
indistinguables, signe que le point fixe existe fort probablement et que ces it´ er´ ees en sont
tr` es voisines ! Dans l’it´ er´ ee f
6 , la r´ esolution des deux vibrisses est presque parfaite,
mais des d´ efauts sont apparus : certains pixels sont nettement plus pˆ ales ou plus fonc´ es
que dans l’original. L’alphabet limit´ e dans lequel nous devions choisir les patrons se fait
sentir.
Pour obtenir le syst` eme de fonctions it´ er´ ees partitionn´ e pour la photographie dans sa
totalit´ e, nous avons fait certaines concessions relativement ` a la r´ esolution. (Rappelons
que le nombre de paires (s j , g j ) de cet exemple d´ epasse le milliard ! En effet, pour chaque
petit carr´ e, pour chaque grand carr´ e et pour chacune des huit transformations lin´ eaires,
on calcule une paire (s j , g j ). Donc, pour chaque petit carr´ e, on doit faire le calcul pour
huit fois le nombre de grands carr´ es. Le premier compromis est le suivant : d` es que nous
trouvions un grand carr´ e G j et une transformation lin´ eaire L tels que la distance entre
la fonction du petit carr´ e et la transform´ ee du grand ´ etait `
a une distance d 4 inf´ erieure
ou ´ egale `
a 10, nous arrˆ etions la recherche. Est-ce que 10 est une grande distance dans
cet espace euclidien R
h×v = R
16 ? Non, c’est tr` es proche ! Si la distance est ´ egale `
a 10,
la distance au carr´ e est ´ egale ` a 100. Dans un petit carr´ e, il y a 16 pixels et donc, en
moyenne, chacun sera `
a une distance au carr´ e de
100
16 ≈ 6,3 du pixel correspondant ou
encore, les tons de gris ne diff´ ereront que de
√
6,3 ≈ 2,5 niveaux sur l’´ echelle allant de 0
` a 255. Comme nous le verrons, c’est une erreur dont l’œil peut ais´ ement s’accommoder.
Le second compromis a consist´ e ` a rejeter toutes les paires (s i , g i ) dont le |s i | > 1 ; nous
avons fait ce choix pour am´ eliorer la convergence vers l’attracteur.
La figure 11.11 pr´ esente les it´ er´ ees f
1 (a), f
2 (b), f
4 (c) et f
6 (d). `
A nouveau, il
est possible d’observer les blocs 4 × 4 ` a ton de gris constant sur la premi` ere it´ er´ ee et les
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Pour le bloc 32 × 32, il n’existe que 16 blocs 8 × 8, chacun devant ˆ etre transform´ e
par une des huit transformations orthogonales permises. (Comme ci-dessus, nous nous
limitons aux grands blocs dont le pixel sup´ erieur gauche a des coordonn´ ees qui sont
des multiples de 8.) Ceci constitue un alphabet de 16 × 8 = 128 patrons de tons de
gris parmi lesquels choisir. C’est relativement peu, mais au moins, le choix des grands
carr´ es et des transformations T i peut ˆ etre fait relativement rapidement. Apr` es avoir
obtenu la transformation T i pour chacun des 8 × 8 = 64 blocs 4 × 4, on peut proc´ eder `
a
la reconstruction. Le r´ esultat est montr´ e ` a la figure 11.10. Le bloc (a) de la figure 11.10
est l’original `
a reproduire. Pour la reconstruction, nous sommes partis de la fonction f
0
constante qui associe ` a chacun des 32 × 32 pixels le ton de gris 128, `
a mi-chemin entre
noir (0) et le blanc (255). Les autres blocs de la figure repr´ esentent la premi` ere it´ er´ ee
f
1 (b), la seconde f
2 (c) et la sixi` eme f
6 (d). La premi` ere surprise, facile `
a expliquer,
est le fait que l’it´ er´ ee f
1 ne semble ˆ etre constitu´ ee que de 8 × 8 pixels. Mais cette it´ er´ ee
contient bien 32 × 32 pixels comme la photographie `
a reproduire. Puisque chacun des
pixels des petits carr´ es C i est obtenu ` a partir de la mˆ eme r` egle s i z + g i et que tous les
tons de gris z de la fonction f
0 sont les mˆ emes, tous les pixels d’un petit carr´ e donn´ e
obtiennent le mˆ eme ton de gris dans f
1 . Et, pour la mˆ eme raison, les tons de gris de
f
2 sont les mˆ emes dans des blocs 2 × 2. D´ ej` a, nous voyons apparaˆ ıtre dans l’it´ er´ ee f
2
le bord de la table et la diagonale que font les deux poils blancs de la moustache de la
chatte. Les it´ er´ ees f
4 , f
5 et f
6 sont tr` es semblables. En fait, f
5 et f
6 sont presque
indistinguables, signe que le point fixe existe fort probablement et que ces it´ er´ ees en sont
tr` es voisines ! Dans l’it´ er´ ee f
6 , la r´ esolution des deux vibrisses est presque parfaite,
mais des d´ efauts sont apparus : certains pixels sont nettement plus pˆ ales ou plus fonc´ es
que dans l’original. L’alphabet limit´ e dans lequel nous devions choisir les patrons se fait
sentir.
Pour obtenir le syst` eme de fonctions it´ er´ ees partitionn´ e pour la photographie dans sa
totalit´ e, nous avons fait certaines concessions relativement ` a la r´ esolution. (Rappelons
que le nombre de paires (s j , g j ) de cet exemple d´ epasse le milliard ! En effet, pour chaque
petit carr´ e, pour chaque grand carr´ e et pour chacune des huit transformations lin´ eaires,
on calcule une paire (s j , g j ). Donc, pour chaque petit carr´ e, on doit faire le calcul pour
huit fois le nombre de grands carr´ es. Le premier compromis est le suivant : d` es que nous
trouvions un grand carr´ e G j et une transformation lin´ eaire L tels que la distance entre
la fonction du petit carr´ e et la transform´ ee du grand ´ etait `
a une distance d 4 inf´ erieure
ou ´ egale `
a 10, nous arrˆ etions la recherche. Est-ce que 10 est une grande distance dans
cet espace euclidien R
h×v = R
16 ? Non, c’est tr` es proche ! Si la distance est ´ egale `
a 10,
la distance au carr´ e est ´ egale ` a 100. Dans un petit carr´ e, il y a 16 pixels et donc, en
moyenne, chacun sera `
a une distance au carr´ e de
100
16 ≈ 6,3 du pixel correspondant ou
encore, les tons de gris ne diff´ ereront que de
√
6,3 ≈ 2,5 niveaux sur l’´ echelle allant de 0
` a 255. Comme nous le verrons, c’est une erreur dont l’œil peut ais´ ement s’accommoder.
Le second compromis a consist´ e ` a rejeter toutes les paires (s i , g i ) dont le |s i | > 1 ; nous
avons fait ce choix pour am´ eliorer la convergence vers l’attracteur.
La figure 11.11 pr´ esente les it´ er´ ees f
1 (a), f
2 (b), f
4 (c) et f
6 (d). `
A nouveau, il
est possible d’observer les blocs 4 × 4 ` a ton de gris constant sur la premi` ere it´ er´ ee et les