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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
On voit donc que la dimension correspond `
a l’exposant du facteur n dans l’ordre de
grandeur de N (1/n) et que les diff´ erentes constantes C 1 , C 2 n’ont rien `
a voir avec la
dimension. Dans chaque cas, on peut v´ erifier que ce nombre correspond `
a
lim
n→∞
ln N (1/n)
ln n
.
En effet, dans le cas d’une courbe, on a
ln(C 1 n)
ln n
≤
ln N (1/n)
ln n
≤
ln(C 2 n)
ln n
.
Comme ln(C i n) = ln C i + ln n, alors
lim
n→∞
ln(C i n)
ln n
= 1.
On peut faire le mˆ eme raisonnement pour des surfaces ou des volumes et obtenir que
cette limite vaut 2 ou 3.
On va maintenant pouvoir donner la d´ efinition de la dimension fractale. On va
g´ en´ eraliser la d´ emarche ci-dessus et permettre non seulement les segments, (respectivement les carr´ es, les cubes) de longueur (respectivement de cˆ ot´ e, d’arˆ ete) 1/n, mais aussi
ceux de longueur (respectivement de cˆ ot´ e, d’arˆ ete) , ´ etant petit.
D´ efinition 11.19 On consid` ere un sous-ensemble ferm´ e born´ e B de R
i , i = 1, 2, 3. Soit
N () le nombre minimal de petits segments (respectivement carr´ es, cubes) de longueur
(respectivement cˆ ot´ e, arˆ ete) n´ ecessaires pour recouvrir B. Alors, la dimension fractale
D(B) de B est la limite suivante si elle existe :
D(B) = lim
→0
ln N ()
ln 1//
.
Remarques
1. Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, si B est un sous-ensemble d’une droite de R
3 , on
obtient la mˆ eme limite, que l’on recouvre B par des segments, des carr´ es ou des
cubes. De mˆ eme, si B est un sous-ensemble d’un plan de R
3 , on obtient la mˆ eme
limite, que l’on recouvre B par des carr´ es ou des cubes.
2. La d´ efinition pr´ ecise que la limite peut ne pas exister. Les fractales que nous avons
construites jusqu’` a pr´ esent sont autosimilaires, c’est-` a-dire que, si on les regarde au
microscope ` a diff´ erents grossissements, on voit toujours se r´ ep´ eter la mˆ eme structure. Dans ces cas, on peut montrer que la limite existe. Par contre, elle pourrait ne
pas exister si l’ensemble B ´ etait tr` es compliqu´ e et n’avait pas de propri´ et´ e d’autosimilarit´ e.
D´ efinition 11.20 Un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } d’attracteur A est totalement d´ econnect´ e si les ensembles T 1 (A), . . . , T m (A) sont disjoints.
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
On voit donc que la dimension correspond `
a l’exposant du facteur n dans l’ordre de
grandeur de N (1/n) et que les diff´ erentes constantes C 1 , C 2 n’ont rien `
a voir avec la
dimension. Dans chaque cas, on peut v´ erifier que ce nombre correspond `
a
lim
n→∞
ln N (1/n)
ln n
.
En effet, dans le cas d’une courbe, on a
ln(C 1 n)
ln n
≤
ln N (1/n)
ln n
≤
ln(C 2 n)
ln n
.
Comme ln(C i n) = ln C i + ln n, alors
lim
n→∞
ln(C i n)
ln n
= 1.
On peut faire le mˆ eme raisonnement pour des surfaces ou des volumes et obtenir que
cette limite vaut 2 ou 3.
On va maintenant pouvoir donner la d´ efinition de la dimension fractale. On va
g´ en´ eraliser la d´ emarche ci-dessus et permettre non seulement les segments, (respectivement les carr´ es, les cubes) de longueur (respectivement de cˆ ot´ e, d’arˆ ete) 1/n, mais aussi
ceux de longueur (respectivement de cˆ ot´ e, d’arˆ ete) , ´ etant petit.
D´ efinition 11.19 On consid` ere un sous-ensemble ferm´ e born´ e B de R
i , i = 1, 2, 3. Soit
N () le nombre minimal de petits segments (respectivement carr´ es, cubes) de longueur
(respectivement cˆ ot´ e, arˆ ete) n´ ecessaires pour recouvrir B. Alors, la dimension fractale
D(B) de B est la limite suivante si elle existe :
D(B) = lim
→0
ln N ()
ln 1//
.
Remarques
1. Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, si B est un sous-ensemble d’une droite de R
3 , on
obtient la mˆ eme limite, que l’on recouvre B par des segments, des carr´ es ou des
cubes. De mˆ eme, si B est un sous-ensemble d’un plan de R
3 , on obtient la mˆ eme
limite, que l’on recouvre B par des carr´ es ou des cubes.
2. La d´ efinition pr´ ecise que la limite peut ne pas exister. Les fractales que nous avons
construites jusqu’` a pr´ esent sont autosimilaires, c’est-` a-dire que, si on les regarde au
microscope ` a diff´ erents grossissements, on voit toujours se r´ ep´ eter la mˆ eme structure. Dans ces cas, on peut montrer que la limite existe. Par contre, elle pourrait ne
pas exister si l’ensemble B ´ etait tr` es compliqu´ e et n’avait pas de propri´ et´ e d’autosimilarit´ e.
D´ efinition 11.20 Un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } d’attracteur A est totalement d´ econnect´ e si les ensembles T 1 (A), . . . , T m (A) sont disjoints.