11.6 La dimension des attracteurs
359
Nous admettrons sans preuve le th´ eor` eme suivant
Th´ eor` eme 11.21 Soit A l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees totalement
d´ econnect´ e. Alors, sa dimension fractale existe.
Exemple 11.22 Calculons la dimension du triangle de Sierpi´ nski A. `
A partir de la
figure 11.6, il est possible de compter le nombre de carr´ es de cˆ ot´ e
1
2 n n´ ecessaires pour
recouvrir A.
• Nous avons besoin d’un carr´ e de cˆ ot´ e 1 pour le couvrir : N (1) = 1.
• Nous avons besoin de trois carr´ es de cˆ ot´ e 1/2 pour le couvrir : N (1/2) = 3.
• Nous avons besoin de neuf carr´ es de cˆ ot´ e 1/4 pour le couvrir : N (1/4) = 9.
• . . .
• Nous avons besoin de 3
n carr´ es de cˆ ot´ e 1/2
n pour le couvrir : N (1/2
n ) = 3
n .
Posant = 1/2
n ; alors → 0 quand n → ∞. Comme la limite d´ efinissant la dimension
D(A) du triangle de Sierpi´ nski existe de par le th´ eor` eme 11.21, cette limite est ´ egale `
a
D(A) = lim
n→∞
ln N (1/2
n )
ln(2 n )
= lim
n→∞
n ln 3
n ln 2
=
ln 3
ln 2
≈ 1,58496.
On a 1 < D(A) < 2 : tel qu’annonc´ e, la dimension de A est sup´ erieure `
a celle d’une
courbe et inf´ erieure `
a celle d’une surface.
Nous allons maintenant ´ enoncer un th´ eor` eme qui permet de calculer directement la
dimension fractale de A sans recourir `
a ce comptage de carr´ es qui pourrait ˆ etre difficile
pour un attracteur compliqu´ e.
Th´ eor` eme 11.23 Soit {T 1 , . . . , T m } un syst` eme de fonctions it´ er´ ees totalement d´ econnect´ e, o` u T i a le facteur de contraction exact 0 < r i < 1, et A son attracteur. Alors, la
dimension fractale D = D(A) de A est l’unique solution de l’´ equation
r
D
1 + · · · + r
D
m = 1.
(11.13)
Dans le cas particulier o` u r 1 = · · · = r m = r, on a
D(A) =
ln m
− ln r
= −
ln m
ln r
.
(11.14)
(Ce quotient est positif, car ln r < 0.)
Id´ ee de la preuve Commen¸ cons par v´ erifier que (11.14) est une cons´ equence de
(11.13). En effet, si r 1 = · · · = r m = r, alors (11.13) donne
r
D + · · · + r
D = mr
D = 1.
D’o` u r
D = 1/m. En prenant le logarithme des deux cˆ ot´ es, on obtient
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Nous admettrons sans preuve le th´ eor` eme suivant
Th´ eor` eme 11.21 Soit A l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees totalement
d´ econnect´ e. Alors, sa dimension fractale existe.
Exemple 11.22 Calculons la dimension du triangle de Sierpi´ nski A. `
A partir de la
figure 11.6, il est possible de compter le nombre de carr´ es de cˆ ot´ e
1
2 n n´ ecessaires pour
recouvrir A.
• Nous avons besoin d’un carr´ e de cˆ ot´ e 1 pour le couvrir : N (1) = 1.
• Nous avons besoin de trois carr´ es de cˆ ot´ e 1/2 pour le couvrir : N (1/2) = 3.
• Nous avons besoin de neuf carr´ es de cˆ ot´ e 1/4 pour le couvrir : N (1/4) = 9.
• . . .
• Nous avons besoin de 3
n carr´ es de cˆ ot´ e 1/2
n pour le couvrir : N (1/2
n ) = 3
n .
Posant = 1/2
n ; alors → 0 quand n → ∞. Comme la limite d´ efinissant la dimension
D(A) du triangle de Sierpi´ nski existe de par le th´ eor` eme 11.21, cette limite est ´ egale `
a
D(A) = lim
n→∞
ln N (1/2
n )
ln(2 n )
= lim
n→∞
n ln 3
n ln 2
=
ln 3
ln 2
≈ 1,58496.
On a 1 < D(A) < 2 : tel qu’annonc´ e, la dimension de A est sup´ erieure `
a celle d’une
courbe et inf´ erieure `
a celle d’une surface.
Nous allons maintenant ´ enoncer un th´ eor` eme qui permet de calculer directement la
dimension fractale de A sans recourir `
a ce comptage de carr´ es qui pourrait ˆ etre difficile
pour un attracteur compliqu´ e.
Th´ eor` eme 11.23 Soit {T 1 , . . . , T m } un syst` eme de fonctions it´ er´ ees totalement d´ econnect´ e, o` u T i a le facteur de contraction exact 0 < r i < 1, et A son attracteur. Alors, la
dimension fractale D = D(A) de A est l’unique solution de l’´ equation
r
D
1 + · · · + r
D
m = 1.
(11.13)
Dans le cas particulier o` u r 1 = · · · = r m = r, on a
D(A) =
ln m
− ln r
= −
ln m
ln r
.
(11.14)
(Ce quotient est positif, car ln r < 0.)
Id´ ee de la preuve Commen¸ cons par v´ erifier que (11.14) est une cons´ equence de
(11.13). En effet, si r 1 = · · · = r m = r, alors (11.13) donne
r
D + · · · + r
D = mr
D = 1.
D’o` u r
D = 1/m. En prenant le logarithme des deux cˆ ot´ es, on obtient