11.6 La dimension des attracteurs
357
• Le segment [0, 1] peut ˆ etre consid´ er´ e dans R ou R
2 ou R
3 . Dans chaque cas, on
peut recouvrir le segment avec n petits segments ou petits carr´ es ou petits cubes.
• Prenons maintenant le carr´ e [0, 1]
2 que l’on peut consid´ erer dans R
2 ou plong´ e
dans R
3 . On a besoin de n
2 petits carr´ es ou petits cubes pour le recouvrir. On ne
peut le recouvrir par un nombre fini de segments.
• Le cube [0, 1]
3 ne peut ˆ etre consid´ er´ e que dans R
3 . On peut le recouvrir par n
3
petits cubes. On ne peut le recouvrir par un nombre fini de segments ou de carr´ es.
• Si, au lieu du segment [0, 1], on avait pris un segment [0, L], on aurait eu besoin
d’environ nL petits segments, carr´ es ou cubes pour le recouvrir.
• Si, au lieu du carr´ e [0, 1]
2 , on avait pris un carr´ e [0, L]
2 , on aurait eu besoin
d’environ L
2 n
2 petits carr´ es ou cubes pour le recouvrir.
• Si, au lieu du cube [0, 1]
3 , on avait pris un cube [0, L]
3 , on aurait eu besoin d’environ L
3 n
3 petits cubes pour le recouvrir.
Cherchons maintenant une r` egle plus g´ en´ erale.
(i) Si on avait eu une courbe finie diff´ erentiable du plan ou de l’espace, on aurait eu
besoin pour la recouvrir d’un nombre N (1/n) de petits carr´ es ou de petits cubes
d’arˆ ete 1/n satisfaisant, si n est assez grand, ` a
C 1 n ≤ N (1/n) ≤ C 2 n.
Cela demande un peu de r´ eflexion pour s’en convaincre. Si la courbe est de longueur
L, on peut la couper en au plus Ln morceaux de longueur inf´ erieure ou ´ egale `
a
1
n . Chaque petit morceau peut ˆ etre recouvert par un petit carr´ e de cˆ ot´ e 1/n. D’o` u
N (1/n) ≤ C 2 n pour un certain C 2 . L’autre in´ egalit´ e est plus difficile et valable
seulement pour n assez grand. En effet, la courbe pourrait ˆ etre repli´ ee, si bien que
des carr´ es (cubes) de cˆ ot´ e
1
n pourraient contenir une grande longueur de la courbe.
Mais comme la courbe est diff´ erentiable (et non fractale), la taille minimale des
replis est limit´ ee et ne peut tendre vers 0. Si l’on prend
1
n assez petit, alors un
petit carr´ e (cube) contiendra un morceau de courbe de longueur maximale C
1
n . Le
nombre minimum de carr´ es (cubes) sera donc C 1 n o` u C 1 =
L
C .
(ii) De mˆ eme, si on avait eu une surface finie lisse du plan ou de l’espace, on aurait eu
besoin pour la couvrir d’un nombre N (1/n) de petits cubes d’arˆ ete 1/n satisfaisant,
si n est assez grand, ` a
C 1 n
2
≤ N (1/n) ≤ C 2 n
2 .
(iii) Finalement, si on avait eu un volume de l’espace, on aurait eu besoin pour le
couvrir d’un nombre N (1/n) de petits cubes d’arˆ ete 1/n satisfaisant, si n est assez
grand,
C 1 n
3
≤ N (1/n) ≤ C 2 n
3 .
(iv) Le nombre N (1/n) est du mˆ eme ordre de grandeur, quel que soit l’espace dans
lequel on travaille ! En effet, si on consid` ere une courbe du plan et qu’on utilise des
carr´ es ou des cubes, on obtient le mˆ eme ordre de grandeur.
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• Le segment [0, 1] peut ˆ etre consid´ er´ e dans R ou R
2 ou R
3 . Dans chaque cas, on
peut recouvrir le segment avec n petits segments ou petits carr´ es ou petits cubes.
• Prenons maintenant le carr´ e [0, 1]
2 que l’on peut consid´ erer dans R
2 ou plong´ e
dans R
3 . On a besoin de n
2 petits carr´ es ou petits cubes pour le recouvrir. On ne
peut le recouvrir par un nombre fini de segments.
• Le cube [0, 1]
3 ne peut ˆ etre consid´ er´ e que dans R
3 . On peut le recouvrir par n
3
petits cubes. On ne peut le recouvrir par un nombre fini de segments ou de carr´ es.
• Si, au lieu du segment [0, 1], on avait pris un segment [0, L], on aurait eu besoin
d’environ nL petits segments, carr´ es ou cubes pour le recouvrir.
• Si, au lieu du carr´ e [0, 1]
2 , on avait pris un carr´ e [0, L]
2 , on aurait eu besoin
d’environ L
2 n
2 petits carr´ es ou cubes pour le recouvrir.
• Si, au lieu du cube [0, 1]
3 , on avait pris un cube [0, L]
3 , on aurait eu besoin d’environ L
3 n
3 petits cubes pour le recouvrir.
Cherchons maintenant une r` egle plus g´ en´ erale.
(i) Si on avait eu une courbe finie diff´ erentiable du plan ou de l’espace, on aurait eu
besoin pour la recouvrir d’un nombre N (1/n) de petits carr´ es ou de petits cubes
d’arˆ ete 1/n satisfaisant, si n est assez grand, ` a
C 1 n ≤ N (1/n) ≤ C 2 n.
Cela demande un peu de r´ eflexion pour s’en convaincre. Si la courbe est de longueur
L, on peut la couper en au plus Ln morceaux de longueur inf´ erieure ou ´ egale `
a
1
n . Chaque petit morceau peut ˆ etre recouvert par un petit carr´ e de cˆ ot´ e 1/n. D’o` u
N (1/n) ≤ C 2 n pour un certain C 2 . L’autre in´ egalit´ e est plus difficile et valable
seulement pour n assez grand. En effet, la courbe pourrait ˆ etre repli´ ee, si bien que
des carr´ es (cubes) de cˆ ot´ e
1
n pourraient contenir une grande longueur de la courbe.
Mais comme la courbe est diff´ erentiable (et non fractale), la taille minimale des
replis est limit´ ee et ne peut tendre vers 0. Si l’on prend
1
n assez petit, alors un
petit carr´ e (cube) contiendra un morceau de courbe de longueur maximale C
1
n . Le
nombre minimum de carr´ es (cubes) sera donc C 1 n o` u C 1 =
L
C .
(ii) De mˆ eme, si on avait eu une surface finie lisse du plan ou de l’espace, on aurait eu
besoin pour la couvrir d’un nombre N (1/n) de petits cubes d’arˆ ete 1/n satisfaisant,
si n est assez grand, ` a
C 1 n
2
≤ N (1/n) ≤ C 2 n
2 .
(iii) Finalement, si on avait eu un volume de l’espace, on aurait eu besoin pour le
couvrir d’un nombre N (1/n) de petits cubes d’arˆ ete 1/n satisfaisant, si n est assez
grand,
C 1 n
3
≤ N (1/n) ≤ C 2 n
3 .
(iv) Le nombre N (1/n) est du mˆ eme ordre de grandeur, quel que soit l’espace dans
lequel on travaille ! En effet, si on consid` ere une courbe du plan et qu’on utilise des
carr´ es ou des cubes, on obtient le mˆ eme ordre de grandeur.