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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
11.6 La dimension des attracteurs
de syst` emes de fonctions it´ er´ ees
Il n’est pas n´ ecessaire d’avoir vu l’ensemble de la section pr´ ec´ edente pour lire
cette section. Il suffit de connaˆ ıtre avec la d´ efinition de facteur de contraction (d´ efinition 11.13).
Nous avons construit plusieurs attracteurs de syst` emes de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . ,
T m }, o` u T i a pour facteur de contraction r i , par exemple, la foug` ere ou le triangle de
Sierpi´ nski. Nous avons l’impression que ce sont des objets plus « denses » qu’une simple
courbe de l’espace. Pourtant, nous pouvons v´ erifier qu’ils ont tous une aire nulle d` es
que r
2
1 + · · · + r
2
m < 1, ce qui est le cas dans nos deux exemples.
Proposition 11.18 L’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } de facteurs de contraction respectifs r 1 , . . . , r m , satisfaisant ` a
r
2
1 + · · · + r
2
m < 1
(11.12)
a une aire nulle.
Preuve Soit S(B) l’aire d’un sous-ensemble compact B de R
2 . Alors, S(T i (B)) ≤
r
2
i S(B). Donc, S(W (B 0 )) ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )S(B 0 ). Si B n+1 = W (B n ), on obtient alors
en it´ erant
S(B n+1 ) ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )S(B n ) ≤ · · · ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )
n+1 S(B 0 ).
Donc,
lim
n→∞
S(B n ) = S(A) = 0.
La notion d’aire ne permet donc pas de dire que ces objets sont plus denses qu’une
simple courbe : leur aire est nulle. Ces objets sont « plus qu’une courbe et moins qu’une
surface pleine ». Nous allons exprimer cela ` a l’aide de la notion de dimension. Nous
devons introduire une d´ efinition de la dimension d’un objet qui donne 1 pour les courbes
usuelles, 2 pour les surfaces usuelles, 3 pour les volumes et qui soit calculable pour les
fractales que nous consid´ erons ici. Comme nos attracteurs sont ` a mi-chemin entre une
courbe et une surface, leur dimension devrait ˆ etre un nombre entre 1 et 2. Toute th´ eorie
coh´ erente de la dimension doit nous donner des nombres non entiers (fractionnaires)
pour la dimension de certains objets fractals.
Il existe plusieurs d´ efinitions de dimension. Elles co¨ ıncident toutes avec la d´ efinition
usuelle pour les courbes, surfaces et volumes. Par contre, elles peuvent diff´ erer pour les
objets fractals. Nous n’utiliserons que la notion de dimension fractale.
Commen¸ cons par consid´ erer le segment [0, 1], le carr´ e [0, 1] × [0, 1], le cube [0, 1]
3 et
prenons des petits segments de longueur 1/n, des petits carr´ es de cˆ ot´ e 1/n et des petits
cubes d’arˆ ete 1/n.
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
11.6 La dimension des attracteurs
de syst` emes de fonctions it´ er´ ees
Il n’est pas n´ ecessaire d’avoir vu l’ensemble de la section pr´ ec´ edente pour lire
cette section. Il suffit de connaˆ ıtre avec la d´ efinition de facteur de contraction (d´ efinition 11.13).
Nous avons construit plusieurs attracteurs de syst` emes de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . ,
T m }, o` u T i a pour facteur de contraction r i , par exemple, la foug` ere ou le triangle de
Sierpi´ nski. Nous avons l’impression que ce sont des objets plus « denses » qu’une simple
courbe de l’espace. Pourtant, nous pouvons v´ erifier qu’ils ont tous une aire nulle d` es
que r
2
1 + · · · + r
2
m < 1, ce qui est le cas dans nos deux exemples.
Proposition 11.18 L’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } de facteurs de contraction respectifs r 1 , . . . , r m , satisfaisant ` a
r
2
1 + · · · + r
2
m < 1
(11.12)
a une aire nulle.
Preuve Soit S(B) l’aire d’un sous-ensemble compact B de R
2 . Alors, S(T i (B)) ≤
r
2
i S(B). Donc, S(W (B 0 )) ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )S(B 0 ). Si B n+1 = W (B n ), on obtient alors
en it´ erant
S(B n+1 ) ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )S(B n ) ≤ · · · ≤ (r
2
1 + · · · + r
2
m )
n+1 S(B 0 ).
Donc,
lim
n→∞
S(B n ) = S(A) = 0.
La notion d’aire ne permet donc pas de dire que ces objets sont plus denses qu’une
simple courbe : leur aire est nulle. Ces objets sont « plus qu’une courbe et moins qu’une
surface pleine ». Nous allons exprimer cela ` a l’aide de la notion de dimension. Nous
devons introduire une d´ efinition de la dimension d’un objet qui donne 1 pour les courbes
usuelles, 2 pour les surfaces usuelles, 3 pour les volumes et qui soit calculable pour les
fractales que nous consid´ erons ici. Comme nos attracteurs sont ` a mi-chemin entre une
courbe et une surface, leur dimension devrait ˆ etre un nombre entre 1 et 2. Toute th´ eorie
coh´ erente de la dimension doit nous donner des nombres non entiers (fractionnaires)
pour la dimension de certains objets fractals.
Il existe plusieurs d´ efinitions de dimension. Elles co¨ ıncident toutes avec la d´ efinition
usuelle pour les courbes, surfaces et volumes. Par contre, elles peuvent diff´ erer pour les
objets fractals. Nous n’utiliserons que la notion de dimension fractale.
Commen¸ cons par consid´ erer le segment [0, 1], le carr´ e [0, 1] × [0, 1], le cube [0, 1]
3 et
prenons des petits segments de longueur 1/n, des petits carr´ es de cˆ ot´ e 1/n et des petits
cubes d’arˆ ete 1/n.