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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
2. ´
Etant donn´ e la propri´ et´ e suivante du maximum de deux nombres,
max(a, b) < < ⇐⇒ (a < < et b < <),
on a
d H (B 1 , B 2 ) < <
si et seulement si
max
v∈B1
d(v, B 2 ) < < et max
w∈B2
d(w, B 1 ) < <
si et seulement si
B 1 ⊂ B 2 () et B 2 ⊂ B 1 ().
La distance de Hausdorff est donc intimement reli´ ee au concept intuitif d’´ epaississement.
Nous donnons sans preuve le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 11.12 [1] Soit K l’ensemble des sous-ensembles compacts du plan. La distance de Hausdorff est bien une distance, c’est-` a-dire qu’elle satisfait aux propri´ et´ es
(i)-(iv) de la d´ efinition 11.7. De plus, K muni de la m´ etrique de Hausdorff est un
espace complet.
Notre ensemble K muni de la distance de Hausdorff est un espace m´ etrique complet.
Nous avons d´ efini l’op´ erateur W : K → K par la formule (11.6). Pour pouvoir appliquer
le th´ eor` eme du point fixe de Banach, nous devons maintenant montrer que W est une
contraction.
Pour cela, il nous faut commencer par d´ efinir la notion de facteur de contraction
d’une contraction affine.
D´ efinition 11.13 Soit T : R
2
→ R
2 une contraction affine.
1. Un nombre r´ eel r ∈ (0, 1) est un facteur de contraction pour T si, pour tous x, y ∈
R
2 , on a
d(T (v), T (w)) ≤ rd(v, w).
2. Un facteur de contraction r est un facteur de contraction exact si, pour tous v, w ∈
R
2 , on a
d(T (v), T (w)) = rd(v, w).
Remarque Seule une transformation affine dont la partie lin´ eaire est la composition
d’une homoth´ etie de rapport r et d’une rotation ou d’une sym´ etrie peut avoir un facteur
de contraction exact.