11.5 La distance de Hausdorff
353
Th´ eor` eme 11.14 Soit {T 1 , . . . , T m } un syst` eme de fonctions it´ er´ ees tel que chaque T i
a un facteur de contraction r i ∈ (0, 1). Alors, l’op´ erateur W d´ efini par (11.5) sur K est
une contraction dont le facteur de contraction est r = max(r 1 , . . . , r m ).
La preuve du th´ eor` eme utilise la propri´ et´ e suivante de la distance de Hausdorff.
Lemme 11.15 Soient B, C, D, E ∈ K. Alors,
d H (B ∪ C, D ∪ E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
Preuve De par la remarque suivant la d´ efinition 11.11, il suffit de montrer que :
(i) pour tout v ∈ B ∪ C, on a d(v, D ∪ E) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)) ou
d(v, D ∪ E) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)) ; et
(ii) pour tout w ∈ D ∪ E, on a d(w, B ∪ C) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E))
ou d(w, B ∪ C) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
On montrera seulement (i), (ii) ´ etant similaire. Soit v ∈ B ∪ C un point donn´ e. Comme
D et E sont des compacts de R, il existe z ∈ D ∪ E tel que d(v, D ∪ E) = d(v, z). On a
donc que, pour tout w ∈ D ∪ E, d(v, z) ≤ d(v, w). En particulier, pour tout u ∈ D, on a
d(v, z) ≤ d(v, u), c’est-` a-dire d(v, z) ≤ d(v, D) et, pour tout p ∈ E, on a d(v, z) ≤ d(v, p),
d’o` u d(v, z) ≤ d(v, E). Or, v ∈ B ∪ C. Donc, v ∈ B ou v ∈ C. Si v ∈ B,
d(v, D) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
De mˆ eme, si v ∈ C
d(v, E) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
L’´ enonc´ e (i) d´ ecoule du fait que d(v, D ∪ E) ≤ d(v, D) et d(v, D ∪ E) ≤ d(v, E) (exercice 14).
Lemme 11.16 Si T : R
2
→ R
2 est une contraction affine de facteur de contraction
r ∈ (0, 1), alors l’application (encore not´ ee T par abus de notation) T : K → K d´ efinie
par
T (B) = {T (v)|v ∈ B}
est une contraction sur K de mˆ eme facteur de contraction r.
Preuve Soient B 1 , B 2 ∈ K. On doit montrer que
d H (T (B 1 ), T (B 2 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ).
Comme pr´ ec´ edemment, il suffit de montrer que
(i) pour tout v ∈ T (B 1 ) on a d(v, T (B 2 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ) ; et
(ii) pour tout w ∈ T (B 2 ) on a d(w, T (B 1 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ).
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Th´ eor` eme 11.14 Soit {T 1 , . . . , T m } un syst` eme de fonctions it´ er´ ees tel que chaque T i
a un facteur de contraction r i ∈ (0, 1). Alors, l’op´ erateur W d´ efini par (11.5) sur K est
une contraction dont le facteur de contraction est r = max(r 1 , . . . , r m ).
La preuve du th´ eor` eme utilise la propri´ et´ e suivante de la distance de Hausdorff.
Lemme 11.15 Soient B, C, D, E ∈ K. Alors,
d H (B ∪ C, D ∪ E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
Preuve De par la remarque suivant la d´ efinition 11.11, il suffit de montrer que :
(i) pour tout v ∈ B ∪ C, on a d(v, D ∪ E) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)) ou
d(v, D ∪ E) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)) ; et
(ii) pour tout w ∈ D ∪ E, on a d(w, B ∪ C) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E))
ou d(w, B ∪ C) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
On montrera seulement (i), (ii) ´ etant similaire. Soit v ∈ B ∪ C un point donn´ e. Comme
D et E sont des compacts de R, il existe z ∈ D ∪ E tel que d(v, D ∪ E) = d(v, z). On a
donc que, pour tout w ∈ D ∪ E, d(v, z) ≤ d(v, w). En particulier, pour tout u ∈ D, on a
d(v, z) ≤ d(v, u), c’est-` a-dire d(v, z) ≤ d(v, D) et, pour tout p ∈ E, on a d(v, z) ≤ d(v, p),
d’o` u d(v, z) ≤ d(v, E). Or, v ∈ B ∪ C. Donc, v ∈ B ou v ∈ C. Si v ∈ B,
d(v, D) ≤ d H (B, D) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
De mˆ eme, si v ∈ C
d(v, E) ≤ d H (C, E) ≤ max(d H (B, D), d H (C, E)).
L’´ enonc´ e (i) d´ ecoule du fait que d(v, D ∪ E) ≤ d(v, D) et d(v, D ∪ E) ≤ d(v, E) (exercice 14).
Lemme 11.16 Si T : R
2
→ R
2 est une contraction affine de facteur de contraction
r ∈ (0, 1), alors l’application (encore not´ ee T par abus de notation) T : K → K d´ efinie
par
T (B) = {T (v)|v ∈ B}
est une contraction sur K de mˆ eme facteur de contraction r.
Preuve Soient B 1 , B 2 ∈ K. On doit montrer que
d H (T (B 1 ), T (B 2 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ).
Comme pr´ ec´ edemment, il suffit de montrer que
(i) pour tout v ∈ T (B 1 ) on a d(v, T (B 2 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ) ; et
(ii) pour tout w ∈ T (B 2 ) on a d(w, T (B 1 )) ≤ rd H (B 1 , B 2 ).