11.5 La distance de Hausdorff
351
11.5 La distance de Hausdorff
La distance de Hausdorff est d´ efinie sur l’ensemble K des sous-ensembles ferm´ es
born´ es du plan. Comme sa d´ efinition est difficile, nous allons commencer par des notions
intuitives. Dans la preuve du th´ eor` eme du point fixe de Banach, on se sert de la m´ etrique
pour dire que deux ´ el´ ements de K sont proches et pour parler de convergence. Rappel :
quand on parle de convergence d’une suite {B n } d’´ el´ ements de K vers une limite A, on
veut dire que, pour n assez grand, les ensembles B n ressemblent beaucoup ` a l’ensemble
A.
On voudrait exprimer l’id´ ee que deux ensembles B 1 et B 2 sont proches, c’est-` adire qu’ils sont `
a une distance inf´ erieure `
a l’un de l’autre. Pour cela, on consid` ere
un « ´ epaississement » de B 1 , c’est-` a-dire l’ensemble des points du plan qui sont ` a une
distance inf´ erieure `
a d’un point de B 1 . B 2 est proche de B 1 s’il est inclus dans cet
ensemble. Mettons cela en ´ equation. L’´ epaississement de B 1 est
B 1 () = {v ∈ R
2
|∃w ∈ B 1 tel que d(v, w) < <},
o` u d(v, w) est la distance euclidienne usuelle entre v et w, deux points de R
2 . Il faut
que B 2 ⊂ B 1 (), mais cela ne suffit pas. B 2 pourrait avoir une forme tr` es diff´ erente de
B 1 et ˆ etre beaucoup plus petit. Il faut donc aussi consid´ erer l’´ epaississement de B 2
B 2 () = {v ∈ R
2
|∃w ∈ B 2 tel que d(v, w) < <}
et exiger que B 1 ⊂ B 2 (). Si d H (B 1 , B 2 ) est la distance de Hausdorff entre B 1 et B 2
(qui reste ` a d´ efinir), alors
d H (B 1 , B 2 ) < < ⇐⇒ (B 1 ⊂ B 2 () et B 2 ⊂ B 1 ()).
Cette id´ ee intuitive d’´ epaississement aide ` a comprendre la d´ efinition formelle de la
distance de Hausdorff.
D´ efinition 11.11 1. Soient B un sous-ensemble compact (c’est-` a-dire ferm´ e et born´ e)
de R
2 et v ∈ R
2 . La distance de v ` a B, not´ ee d(v, B), est
d(v, B) = min
w∈B
d(v, w).
2. La distance de Hausdorff entre deux sous-ensembles compacts B 1 et B 2 du plan est
d H (B 1 , B 2 ) = max
max
v∈B1
d(v, B 2 ), max
w∈B2
d(w, B 1 )
.
Remarques
1. Dans la d´ efinition 11.11, le fait que B, B 1 et B 2 soient compacts sert ` a assurer que
les minima et maxima dont on parle existent.
351
11.5 La distance de Hausdorff
La distance de Hausdorff est d´ efinie sur l’ensemble K des sous-ensembles ferm´ es
born´ es du plan. Comme sa d´ efinition est difficile, nous allons commencer par des notions
intuitives. Dans la preuve du th´ eor` eme du point fixe de Banach, on se sert de la m´ etrique
pour dire que deux ´ el´ ements de K sont proches et pour parler de convergence. Rappel :
quand on parle de convergence d’une suite {B n } d’´ el´ ements de K vers une limite A, on
veut dire que, pour n assez grand, les ensembles B n ressemblent beaucoup ` a l’ensemble
A.
On voudrait exprimer l’id´ ee que deux ensembles B 1 et B 2 sont proches, c’est-` adire qu’ils sont `
a une distance inf´ erieure `
a l’un de l’autre. Pour cela, on consid` ere
un « ´ epaississement » de B 1 , c’est-` a-dire l’ensemble des points du plan qui sont ` a une
distance inf´ erieure `
a d’un point de B 1 . B 2 est proche de B 1 s’il est inclus dans cet
ensemble. Mettons cela en ´ equation. L’´ epaississement de B 1 est
B 1 () = {v ∈ R
2
|∃w ∈ B 1 tel que d(v, w) < <},
o` u d(v, w) est la distance euclidienne usuelle entre v et w, deux points de R
2 . Il faut
que B 2 ⊂ B 1 (), mais cela ne suffit pas. B 2 pourrait avoir une forme tr` es diff´ erente de
B 1 et ˆ etre beaucoup plus petit. Il faut donc aussi consid´ erer l’´ epaississement de B 2
B 2 () = {v ∈ R
2
|∃w ∈ B 2 tel que d(v, w) < <}
et exiger que B 1 ⊂ B 2 (). Si d H (B 1 , B 2 ) est la distance de Hausdorff entre B 1 et B 2
(qui reste ` a d´ efinir), alors
d H (B 1 , B 2 ) < < ⇐⇒ (B 1 ⊂ B 2 () et B 2 ⊂ B 1 ()).
Cette id´ ee intuitive d’´ epaississement aide ` a comprendre la d´ efinition formelle de la
distance de Hausdorff.
D´ efinition 11.11 1. Soient B un sous-ensemble compact (c’est-` a-dire ferm´ e et born´ e)
de R
2 et v ∈ R
2 . La distance de v ` a B, not´ ee d(v, B), est
d(v, B) = min
w∈B
d(v, w).
2. La distance de Hausdorff entre deux sous-ensembles compacts B 1 et B 2 du plan est
d H (B 1 , B 2 ) = max
max
v∈B1
d(v, B 2 ), max
w∈B2
d(w, B 1 )
.
Remarques
1. Dans la d´ efinition 11.11, le fait que B, B 1 et B 2 soient compacts sert ` a assurer que
les minima et maxima dont on parle existent.