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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
Une fois que K est un espace m´ etrique complet, il faut que l’op´ erateur W d´ efini sur
K prenne bien ses valeurs dans K et que ce soit une contraction. Nous pourrons alors
appliquer le c´ el` ebre th´ eor` eme du point fixe de Banach : comme nous l’appliquerons dans
le contexte o` u les ´ el´ ements de K sont des ensembles compacts du plan, nous utiliserons
des lettres majuscules pour les points de K.
Th´ eor` eme 11.9 (th´ eor` eme du point fixe de Banach) Soient K un espace m´ etrique complet et W : K → K une contraction, c’est-` a-dire une fonction telle que, pour
tous B 1 , B 2 ∈ K,
d(W (B 1 ), W (B 2 )) ≤ r d(B 1 , B 2 ),
(11.10)
o` u 0 < r < 1. Alors, il existe un unique point fixe A de W (c’est-` a-dire tel que A ∈ K
et W (A) = A).
Nous ne donnerons pas la preuve du th´ eor` eme, qui est identique `
a celle du th´ eor` eme 11.6. On remplace seulement |x − x
|, qui repr´ esente la distance entre deux points
x, x
∈ R, par d(B 1 , B 2 ), qui est la distance entre deux ´ el´ ements B 1 , B 2 ∈ K.
Le th´ eor` eme du point fixe de Banach est un des th´ eor` emes les plus importants des
math´ ematiques. Il a des applications dans une foule de domaines.
Exemple 11.10 Consid´ erons quelques applications.
1. Une premi` ere application du th´ eor` eme du point fixe de Banach permet de d´ emontrer
le th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e des solutions des ´ equations diff´ erentielles ordinaires qui satisfont `
a une condition de Lipschitz. Dans ce cas, les ´ el´ ements de K
sont des fonctions. Le point fixe est la fonction qui est la solution de l’´ equation
diff´ erentielle. Nous ne nous ´ etendrons pas plus sur ce sujet si ce n’est pour mentionner qu’une id´ ee simple peut avoir des applications importantes dans des champs
tr` es ´ eloign´ es les uns des autres.
2. La deuxi` eme application est celle qui nous int´ eresse. Soit K l’ensemble des sousensembles de R
2 qui sont ferm´ es et born´ es, muni de la distance de Haudorff qui
en fait un espace m´ etrique complet. On se donne un ensemble de contractions affines T 1 , . . . , T m qui forment donc un syst` eme de fonctions it´ er´ ees. On d´ efinit alors
l’op´ erateur (11.6) et on montre que cet op´ erateur est une contraction, c’est-` a-dire
qu’il satisfait `
a (11.10) pour un certain r ∈ (0, 1). Le th´ eor` eme 11.9 nous permet
alors de conclure ` a l’existence et `
a l’unicit´ e de l’attracteur A du syst` eme de fonctions
it´ er´ ees.
Remarque Le th´ eor` eme affirme que l’ensemble A qui est un point fixe de W est unique.
Si nous connaissons d´ ej` a un ensemble qui a cette propri´ et´ e (par exemple, la foug` ere),
nous sommes sˆ urs que l’attracteur que nous faisons construire par notre programme est
bien l’ensemble que nous connaissons.
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
Une fois que K est un espace m´ etrique complet, il faut que l’op´ erateur W d´ efini sur
K prenne bien ses valeurs dans K et que ce soit une contraction. Nous pourrons alors
appliquer le c´ el` ebre th´ eor` eme du point fixe de Banach : comme nous l’appliquerons dans
le contexte o` u les ´ el´ ements de K sont des ensembles compacts du plan, nous utiliserons
des lettres majuscules pour les points de K.
Th´ eor` eme 11.9 (th´ eor` eme du point fixe de Banach) Soient K un espace m´ etrique complet et W : K → K une contraction, c’est-` a-dire une fonction telle que, pour
tous B 1 , B 2 ∈ K,
d(W (B 1 ), W (B 2 )) ≤ r d(B 1 , B 2 ),
(11.10)
o` u 0 < r < 1. Alors, il existe un unique point fixe A de W (c’est-` a-dire tel que A ∈ K
et W (A) = A).
Nous ne donnerons pas la preuve du th´ eor` eme, qui est identique `
a celle du th´ eor` eme 11.6. On remplace seulement |x − x
|, qui repr´ esente la distance entre deux points
x, x
∈ R, par d(B 1 , B 2 ), qui est la distance entre deux ´ el´ ements B 1 , B 2 ∈ K.
Le th´ eor` eme du point fixe de Banach est un des th´ eor` emes les plus importants des
math´ ematiques. Il a des applications dans une foule de domaines.
Exemple 11.10 Consid´ erons quelques applications.
1. Une premi` ere application du th´ eor` eme du point fixe de Banach permet de d´ emontrer
le th´ eor` eme d’existence et d’unicit´ e des solutions des ´ equations diff´ erentielles ordinaires qui satisfont `
a une condition de Lipschitz. Dans ce cas, les ´ el´ ements de K
sont des fonctions. Le point fixe est la fonction qui est la solution de l’´ equation
diff´ erentielle. Nous ne nous ´ etendrons pas plus sur ce sujet si ce n’est pour mentionner qu’une id´ ee simple peut avoir des applications importantes dans des champs
tr` es ´ eloign´ es les uns des autres.
2. La deuxi` eme application est celle qui nous int´ eresse. Soit K l’ensemble des sousensembles de R
2 qui sont ferm´ es et born´ es, muni de la distance de Haudorff qui
en fait un espace m´ etrique complet. On se donne un ensemble de contractions affines T 1 , . . . , T m qui forment donc un syst` eme de fonctions it´ er´ ees. On d´ efinit alors
l’op´ erateur (11.6) et on montre que cet op´ erateur est une contraction, c’est-` a-dire
qu’il satisfait `
a (11.10) pour un certain r ∈ (0, 1). Le th´ eor` eme 11.9 nous permet
alors de conclure ` a l’existence et `
a l’unicit´ e de l’attracteur A du syst` eme de fonctions
it´ er´ ees.
Remarque Le th´ eor` eme affirme que l’ensemble A qui est un point fixe de W est unique.
Si nous connaissons d´ ej` a un ensemble qui a cette propri´ et´ e (par exemple, la foug` ere),
nous sommes sˆ urs que l’attracteur que nous faisons construire par notre programme est
bien l’ensemble que nous connaissons.