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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
(a) C0
(b) C1
(c) C2
(d) C3
(e) C4
(f) C5
Fig. 11.6. C0 et les cinq premi` eres it´ er´ ees C1–C5
Le principe g´ en´ eral L’exemple du triangle de Sierpi´ nski nous a permis de voir se
profiler le cas g´ en´ eral. ´
Etant donn´ e un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } donn´ e
par des contractions affines, nous construisons un op´ erateur W sur les sous-ensembles
du plan. `
A un sous-ensemble C, nous associons le sous-ensemble W (C) d´ efini comme
suit :
W (C) = T 1 (C) ∪ T 2 (C) ∪ · · · ∪ T m (C).
(11.5)
L’objet fractal A que nous voulons construire est un sous-ensemble du plan tel que
W (A) = A. Nous disons alors que A est un point fixe de l’op´ erateur W.
Nous verrons ` a la prochaine section que, pour tout syst` eme de fonctions it´ er´ ees, il
existe un unique sous-ensemble A du plan qui est un point fixe de l’op´ erateur W. De
plus, nous montrerons que, pour tout sous-ensemble non vide C 0 de R
2 , le sous-ensemble
A est la limite de la suite {C n } d´ efinie par r´ ecurrence
C n+1 = W (C n ).
Ce sous-ensemble A est appel´ e l’attracteur du syst` eme de fonctions it´ er´ ees. Donc, si
nous connaissons un ensemble B tel que B = W (B), nous pouvons d´ ej` a dire que B est
la limite de la suite {C n }.
Remarque sur la notion d’op´ erateur Nous avons l’habitude de la notion de fonction
f : K → L. Une telle fonction est une r` egle qui associe ` a tout ´ el´ ement de K un unique
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
(a) C0
(b) C1
(c) C2
(d) C3
(e) C4
(f) C5
Fig. 11.6. C0 et les cinq premi` eres it´ er´ ees C1–C5
Le principe g´ en´ eral L’exemple du triangle de Sierpi´ nski nous a permis de voir se
profiler le cas g´ en´ eral. ´
Etant donn´ e un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } donn´ e
par des contractions affines, nous construisons un op´ erateur W sur les sous-ensembles
du plan. `
A un sous-ensemble C, nous associons le sous-ensemble W (C) d´ efini comme
suit :
W (C) = T 1 (C) ∪ T 2 (C) ∪ · · · ∪ T m (C).
(11.5)
L’objet fractal A que nous voulons construire est un sous-ensemble du plan tel que
W (A) = A. Nous disons alors que A est un point fixe de l’op´ erateur W.
Nous verrons ` a la prochaine section que, pour tout syst` eme de fonctions it´ er´ ees, il
existe un unique sous-ensemble A du plan qui est un point fixe de l’op´ erateur W. De
plus, nous montrerons que, pour tout sous-ensemble non vide C 0 de R
2 , le sous-ensemble
A est la limite de la suite {C n } d´ efinie par r´ ecurrence
C n+1 = W (C n ).
Ce sous-ensemble A est appel´ e l’attracteur du syst` eme de fonctions it´ er´ ees. Donc, si
nous connaissons un ensemble B tel que B = W (B), nous pouvons d´ ej` a dire que B est
la limite de la suite {C n }.
Remarque sur la notion d’op´ erateur Nous avons l’habitude de la notion de fonction
f : K → L. Une telle fonction est une r` egle qui associe ` a tout ´ el´ ement de K un unique