11.3 Les syst` emes de fonctions it´ er´ ees
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Fig. 11.5. Le triangle de Sierpi´ nski
composition de T 1 et de la translation par (1/2, 0), et T 3 , celle de T 1 et de la translation
par (1/4, 1/2)) :
T 2 (x, y) = (x/2 + 1/2, y/2),
T 3 (x, y) = (x/2 + 1/4, y/2 + 1/2).
Le triangle s’inscrit dans le carr´ e C 0 = [0, 1] × [0, 1]. On va s’int´ eresser aux ensembles
C 1 = T 1 (C 0 ) ∪ T 2 (C 0 ) ∪ T 3 (C 0 ),
C 2 = T 1 (C 1 ) ∪ T 2 (C 1 ) ∪ T 3 (C 1 ),
. . .
C n = T 1 (C n−1 ) ∪ T 2 (C n−1 ) ∪ T 3 (C n−1 ),
. . .
(figure 11.6). On remarque que, pour n assez grand (mais d´ ej` a pour n = 10), cet ensemble ressemble beaucoup `
a A. L’ensemble
C n = T 1 (C n−1 ) ∪ T 2 (C n−1 ) ∪ T 3 (C n−1 )
est appel´ e la n
i` eme it´ er´ ee de l’ensemble C 0 sous l’op´ erateur
C → W (C) = T 1 (C) ∪ T 2 (C) ∪ T 3 (C)
qui associe `
a C, un sous-ensemble du plan, W (C), un autre sous-ensemble du plan.
C’est pour cela qu’on dit que A est un attracteur. Le ph´ enom` ene remarquable est
que, si on ´ etait parti d’un autre sous-ensemble du plan diff´ erent de C 0 et qu’on avait
appliqu´ e le mˆ eme proc´ ed´ e, la limite aurait encore ´ et´ e le triangle de Sierpi´ nski (voir la
figure 11.7).