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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
P 1 = Q 1
P 3
3
P 2
Fig. 11.4. Le choix des points Pi et Qi pour T1
R´ esumons ce que nous avons fait. Nous avons construit quatre transformations affines telles que
A = T 1 (A) ∪ T 2 (A) ∪ T 3 (A) ∪ T 4 (A).
(11.4)
Nous pouvons d´ ej` a affirmer (la preuve suivra) que la foug` ere est le seul ensemble satisfaisant ` a (11.4). La foug` ere est l’attracteur du syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 , T 3 , T 4 }.
Cet exemple est compliqu´ e. Nous allons en examiner un autre plus simple, qui va
guider notre intuition.
Exemple 11.5 (le triangle de Sierpi´ nski) Pour simplifier les calculs, nous consid´ ererons un triangle de Sierpi´ nski de base 1 et de hauteur 1 (figure 11.5).
Ici le triangle A est la r´ eunion de trois copies plus petites de lui-mˆ eme : A = T 1 (A)∪
T 2 (A) ∪ T 3 (A). On peut facilement ´ ecrire dans ce cas les ´ equations des contractions
affines. En effet, si on suppose que l’origine est situ´ ee au point inf´ erieur gauche, alors
T 1 est une homoth´ etie de rapport 1/2 :
T 1 (x, y) = (x/2, y/2).
T 2 et T 3 sont simplement des compositions de T 1 et d’une translation. Si on suppose
que la base du triangle est de longueur 1 de mˆ eme que sa hauteur, alors T 2 est la
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
P 1 = Q 1
P 3
3
P 2
Fig. 11.4. Le choix des points Pi et Qi pour T1
R´ esumons ce que nous avons fait. Nous avons construit quatre transformations affines telles que
A = T 1 (A) ∪ T 2 (A) ∪ T 3 (A) ∪ T 4 (A).
(11.4)
Nous pouvons d´ ej` a affirmer (la preuve suivra) que la foug` ere est le seul ensemble satisfaisant ` a (11.4). La foug` ere est l’attracteur du syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , T 2 , T 3 , T 4 }.
Cet exemple est compliqu´ e. Nous allons en examiner un autre plus simple, qui va
guider notre intuition.
Exemple 11.5 (le triangle de Sierpi´ nski) Pour simplifier les calculs, nous consid´ ererons un triangle de Sierpi´ nski de base 1 et de hauteur 1 (figure 11.5).
Ici le triangle A est la r´ eunion de trois copies plus petites de lui-mˆ eme : A = T 1 (A)∪
T 2 (A) ∪ T 3 (A). On peut facilement ´ ecrire dans ce cas les ´ equations des contractions
affines. En effet, si on suppose que l’origine est situ´ ee au point inf´ erieur gauche, alors
T 1 est une homoth´ etie de rapport 1/2 :
T 1 (x, y) = (x/2, y/2).
T 2 et T 3 sont simplement des compositions de T 1 et d’une translation. Si on suppose
que la base du triangle est de longueur 1 de mˆ eme que sa hauteur, alors T 2 est la