11.3 Les syst` emes de fonctions it´ er´ ees
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Fig. 11.3. Les images des vecteurs de la base sous une rotation d’angle θ
D´ efinition 11.3 1. Une transformation affine est une contraction affine si l’image de
tout segment est un segment de longueur inf´ erieure.
2. Un syst` eme de fonctions it´ er´ ees est un ensemble de contractions affines {T 1 , . . . ,
T m }.
3. L’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } est l’unique objet g´ eom´ etrique A tel que
A = T 1 (A) ∪ · · · ∪ T m (A).
Exemple 11.4 (la foug` ere) Consid´ erons la foug` ere de la figure 11.2. On voit bien
que les petites branches de chaque cˆ ot´ e de la tige ressemblent elles-mˆ emes ` a des foug` eres.
Donc, notre foug` ere est la r´ eunion d’une tige et d’un ensemble infini de petites foug` eres.
Mais nous ne voulons pas travailler sur une infinit´ e d’ensembles, donc il nous faut
ˆ etre astucieux. Appelons A le sous-ensemble du plan form´ e des points de la foug` ere
et donnons-nous un syst` eme d’axes avec des unit´ es. Regardons la figure 11.4 et cherchons la transformation affine T 1 qui envoie P i sur Q i . Consid´ erons T 1 (A). C’est un
sous-ensemble de A. Prenons maintenant l’ensemble A \ T 1 (A). Il comprend la partie
inf´ erieure de la tige ainsi que les branches inf´ erieures gauche et droite mises en ´ evidence
sur la figure 11.2. Comme exercice, vous pouvez choisir les points Q
1 , Q
2 et Q
3 pour
construire une transformation affine T 2 envoyant la grande foug` ere sur la petite foug` ere
de gauche. De mˆ eme, vous pouvez choisir les points Q
1 , Q
2 et Q
3 pour construire
une transformation affine T 3 envoyant la grande foug` ere sur la petite foug` ere de droite.
Alors, A \ (T 1 (A) ∪ T 2 (A) ∪ T 3 (A)) est simplement le morceau inf´ erieur de la tige de
la foug` ere. Ce morceau de tige est aussi de la forme T 4 (A) pour une transformation
affine T 4 qui correspond `
a la projection sur l’axe des y compos´ ee avec une homoth´ etie
de rapport r < 1 et une translation.
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Fig. 11.3. Les images des vecteurs de la base sous une rotation d’angle θ
D´ efinition 11.3 1. Une transformation affine est une contraction affine si l’image de
tout segment est un segment de longueur inf´ erieure.
2. Un syst` eme de fonctions it´ er´ ees est un ensemble de contractions affines {T 1 , . . . ,
T m }.
3. L’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees {T 1 , . . . , T m } est l’unique objet g´ eom´ etrique A tel que
A = T 1 (A) ∪ · · · ∪ T m (A).
Exemple 11.4 (la foug` ere) Consid´ erons la foug` ere de la figure 11.2. On voit bien
que les petites branches de chaque cˆ ot´ e de la tige ressemblent elles-mˆ emes ` a des foug` eres.
Donc, notre foug` ere est la r´ eunion d’une tige et d’un ensemble infini de petites foug` eres.
Mais nous ne voulons pas travailler sur une infinit´ e d’ensembles, donc il nous faut
ˆ etre astucieux. Appelons A le sous-ensemble du plan form´ e des points de la foug` ere
et donnons-nous un syst` eme d’axes avec des unit´ es. Regardons la figure 11.4 et cherchons la transformation affine T 1 qui envoie P i sur Q i . Consid´ erons T 1 (A). C’est un
sous-ensemble de A. Prenons maintenant l’ensemble A \ T 1 (A). Il comprend la partie
inf´ erieure de la tige ainsi que les branches inf´ erieures gauche et droite mises en ´ evidence
sur la figure 11.2. Comme exercice, vous pouvez choisir les points Q
1 , Q
2 et Q
3 pour
construire une transformation affine T 2 envoyant la grande foug` ere sur la petite foug` ere
de gauche. De mˆ eme, vous pouvez choisir les points Q
1 , Q
2 et Q
3 pour construire
une transformation affine T 3 envoyant la grande foug` ere sur la petite foug` ere de droite.
Alors, A \ (T 1 (A) ∪ T 2 (A) ∪ T 3 (A)) est simplement le morceau inf´ erieur de la tige de
la foug` ere. Ce morceau de tige est aussi de la forme T 4 (A) pour une transformation
affine T 4 qui correspond `
a la projection sur l’axe des y compos´ ee avec une homoth´ etie
de rapport r < 1 et une translation.