11.3 Les syst` emes de fonctions it´ er´ ees
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´ el´ ement de L : si x ∈ K, f (x) ∈ L. D’ordinaire, les ensembles K et L sont des sousensembles de R
n . Ici notre op´ erateur est simplement une fonction ! Son domaine K est
´ egal `
a son codomaine L. Par contre les « points » de K ne sont pas des nombres ou des
vecteurs, mais des ensembles, plus pr´ ecis´ ement des sous-ensembles du plan R
2 . Donc,
K est un ensemble d’ensembles ! Et l’op´ erateur W est une fonction associant ` a un sousensemble B de R
2 son image par W , qui est un unique sous-ensemble W (B) de R
2 .
L’analyse math´ ematique que vous connaissez s’int´ eresse beaucoup aux fonctions. On va
g´ en´ eraliser les d´ efinitions et th´ eor` emes de l’analyse aux op´ erateurs. Une telle d´ emarche
est courante en math´ ematiques. Par exemple, en analyse fonctionnelle, on consid` ere des
espaces dont les ´ el´ ements sont des fonctions, et les op´ erateurs associent `
a une fonction
une autre fonction.
Dans notre exemple sur le triangle de Sierpi´ nski, nous avons pris pour ensemble C 0
le carr´ e [0, 1] × [0, 1] et nous avons construit la suite {C n } n≥0 par r´ ecurrence en posant
C n+1 = W (C n ). L’exp´ erience de la figure 11.6 nous a fait voir que la suite {C n } n≥0
« convergeait » vers l’ensemble A qui est le triangle de Sierpi´ nski. Nous aurions pu faire
la mˆ eme exp´ erience avec n’importe quel autre ensemble B 0 de d´ epart, par exemple le
carr´ e B 0 = [1/4, 3/4] × [1/4, 3/4]. Nous aurions encore constat´ e que la suite {B n } n≥0
telle que B n+1 = W (B n ), converge vers A (figure 11.7).
(a) B0
(b) B1
(c) B2
(d) B3
(e) B4
(f) B5
Fig. 11.7. B0 et ses cinq premi` eres it´ er´ ees B1–B5
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´ el´ ement de L : si x ∈ K, f (x) ∈ L. D’ordinaire, les ensembles K et L sont des sousensembles de R
n . Ici notre op´ erateur est simplement une fonction ! Son domaine K est
´ egal `
a son codomaine L. Par contre les « points » de K ne sont pas des nombres ou des
vecteurs, mais des ensembles, plus pr´ ecis´ ement des sous-ensembles du plan R
2 . Donc,
K est un ensemble d’ensembles ! Et l’op´ erateur W est une fonction associant ` a un sousensemble B de R
2 son image par W , qui est un unique sous-ensemble W (B) de R
2 .
L’analyse math´ ematique que vous connaissez s’int´ eresse beaucoup aux fonctions. On va
g´ en´ eraliser les d´ efinitions et th´ eor` emes de l’analyse aux op´ erateurs. Une telle d´ emarche
est courante en math´ ematiques. Par exemple, en analyse fonctionnelle, on consid` ere des
espaces dont les ´ el´ ements sont des fonctions, et les op´ erateurs associent `
a une fonction
une autre fonction.
Dans notre exemple sur le triangle de Sierpi´ nski, nous avons pris pour ensemble C 0
le carr´ e [0, 1] × [0, 1] et nous avons construit la suite {C n } n≥0 par r´ ecurrence en posant
C n+1 = W (C n ). L’exp´ erience de la figure 11.6 nous a fait voir que la suite {C n } n≥0
« convergeait » vers l’ensemble A qui est le triangle de Sierpi´ nski. Nous aurions pu faire
la mˆ eme exp´ erience avec n’importe quel autre ensemble B 0 de d´ epart, par exemple le
carr´ e B 0 = [1/4, 3/4] × [1/4, 3/4]. Nous aurions encore constat´ e que la suite {B n } n≥0
telle que B n+1 = W (B n ), converge vers A (figure 11.7).
(a) B0
(b) B1
(c) B2
(d) B3
(e) B4
(f) B5
Fig. 11.7. B0 et ses cinq premi` eres it´ er´ ees B1–B5