1.3 Coups de foudre et orages
17
Calcul du taux de d´ etection des coups de foudre En pratique, on ne d´ etecte
jamais tous les coups de foudre, mais seulement ceux dont l’intensit´ e d´ epasse un certain seuil. Ce seuil d´ epend de la position des coups de foudre par rapport au r´ eseau
de d´ etection et des ´ el´ ements perturbateurs qui nuisent ` a la qualit´ e de r´ eception de
l’onde ´ electromagn´ etique pour chaque d´ etecteur ` a un moment donn´ e. Voyons comment
d´ eterminer le pourcentage des coups de foudre d´ etect´ es. Dans notre exemple, nous avons
d´ etermin´ e que 50 % des coups de foudre ont un amp´ erage sup´ erieur ` a 25 kA. Supposons
maintenant que dans l’´ echantillon observ´ e, 60 % des coups de foudre d´ etect´ es aient un
amp´ erage sup´ erieur ` a I m = 25 kA. Soit E l’´ ev´ enement : « le coup de foudre est d´ etect´ e ».
Alors, on cherche Prob(E). On connaˆ ıt la probabilit´ e qu’un coup de foudre d´ etect´ e
(c’est-` a-dire que l’´ ev´ enement E s’est produit) ait un amp´ erage sup´ erieur ` a I m = 25 kA
(c’est-` a-dire X > 25) : c’est une probabilit´ e conditionnelle, car on a suppos´ e que le coup
de foudre a ´ et´ e d´ etect´ e, et donc que l’´ ev´ enement E a eu lieu. On note cette probabilit´ e
conditionnelle :
Prob(X > 25 | E) = 0,6.
(1.18)
D’autre part, on sait que la probabilit´ e conditionnelle de l’´ ev´ enement X > 25, sachant
que l’´ ev´ enement E s’est produit, se calcule comme
Prob(X > 25 | E) =
Prob(X > 25 et E)
Prob(E)
.
(1.19)
Comme telle, cette expression ne nous avance pas, car le num´ erateur et le d´ enominateur
sont tous deux inconnus. Mais supposons que l’on puisse faire l’hypoth` ese que tous les
coups de foudre ayant un amp´ erage sup´ erieur ` a 25 kA sont d´ etect´ es. Alors, l’´ ev´ enement
« X > 25 et E » devient simplement X > 25, dont la probabilit´ e est connue. D’o` u
finalement
Prob(E) =
Prob(X > 25)
Prob(X > 25 | E)
=
0,5
0,6
=
5
6
= 0,83.
(1.20)
Supposons maintenant que, dans une zone g´ eographique limit´ ee, on puisse faire
l’hypoth` ese (avec une marge d’erreur raisonnable) que les seuls coups de foudre non
d´ etect´ es sont ceux de plus faible amp´ erage. On peut vouloir d´ eterminer le seuil I 0
pour l’amp´ erage, en de¸ c` a duquel les coups de foudre ne sont pas d´ etect´ es. Alors,
l’´ ev´ enement E devient : X > I 0 . On a vu que Prob(E) =
5
6 = 0,83. Comme
Prob(E) = Prob(X > I 0 ) = P (I 0 ) ceci donne l’´ equation
P (I 0 ) =
0,5
0,6
=
5
6
,
(1.21)
ce qui revient `
a solutionner
1
1+(
I 0
25 )
2 = 5/6, c’est-` a-dire 1 +
I0
25
2 =
6
5 . Donc I 0 satisfait
I0
25
2 =
1
5 = 0,2, ce qui donne :
I 0 = 25
0,2 = 11,18.
(1.22)
On en conclut que le seuil de d´ etection est I 0 = 11,18 kA et que les coups de foudre
dont l’amp´ erage est sous ce seuil ne sont pas d´ etect´ es.
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Calcul du taux de d´ etection des coups de foudre En pratique, on ne d´ etecte
jamais tous les coups de foudre, mais seulement ceux dont l’intensit´ e d´ epasse un certain seuil. Ce seuil d´ epend de la position des coups de foudre par rapport au r´ eseau
de d´ etection et des ´ el´ ements perturbateurs qui nuisent ` a la qualit´ e de r´ eception de
l’onde ´ electromagn´ etique pour chaque d´ etecteur ` a un moment donn´ e. Voyons comment
d´ eterminer le pourcentage des coups de foudre d´ etect´ es. Dans notre exemple, nous avons
d´ etermin´ e que 50 % des coups de foudre ont un amp´ erage sup´ erieur ` a 25 kA. Supposons
maintenant que dans l’´ echantillon observ´ e, 60 % des coups de foudre d´ etect´ es aient un
amp´ erage sup´ erieur ` a I m = 25 kA. Soit E l’´ ev´ enement : « le coup de foudre est d´ etect´ e ».
Alors, on cherche Prob(E). On connaˆ ıt la probabilit´ e qu’un coup de foudre d´ etect´ e
(c’est-` a-dire que l’´ ev´ enement E s’est produit) ait un amp´ erage sup´ erieur ` a I m = 25 kA
(c’est-` a-dire X > 25) : c’est une probabilit´ e conditionnelle, car on a suppos´ e que le coup
de foudre a ´ et´ e d´ etect´ e, et donc que l’´ ev´ enement E a eu lieu. On note cette probabilit´ e
conditionnelle :
Prob(X > 25 | E) = 0,6.
(1.18)
D’autre part, on sait que la probabilit´ e conditionnelle de l’´ ev´ enement X > 25, sachant
que l’´ ev´ enement E s’est produit, se calcule comme
Prob(X > 25 | E) =
Prob(X > 25 et E)
Prob(E)
.
(1.19)
Comme telle, cette expression ne nous avance pas, car le num´ erateur et le d´ enominateur
sont tous deux inconnus. Mais supposons que l’on puisse faire l’hypoth` ese que tous les
coups de foudre ayant un amp´ erage sup´ erieur ` a 25 kA sont d´ etect´ es. Alors, l’´ ev´ enement
« X > 25 et E » devient simplement X > 25, dont la probabilit´ e est connue. D’o` u
finalement
Prob(E) =
Prob(X > 25)
Prob(X > 25 | E)
=
0,5
0,6
=
5
6
= 0,83.
(1.20)
Supposons maintenant que, dans une zone g´ eographique limit´ ee, on puisse faire
l’hypoth` ese (avec une marge d’erreur raisonnable) que les seuls coups de foudre non
d´ etect´ es sont ceux de plus faible amp´ erage. On peut vouloir d´ eterminer le seuil I 0
pour l’amp´ erage, en de¸ c` a duquel les coups de foudre ne sont pas d´ etect´ es. Alors,
l’´ ev´ enement E devient : X > I 0 . On a vu que Prob(E) =
5
6 = 0,83. Comme
Prob(E) = Prob(X > I 0 ) = P (I 0 ) ceci donne l’´ equation
P (I 0 ) =
0,5
0,6
=
5
6
,
(1.21)
ce qui revient `
a solutionner
1
1+(
I 0
25 )
2 = 5/6, c’est-` a-dire 1 +
I0
25
2 =
6
5 . Donc I 0 satisfait
I0
25
2 =
1
5 = 0,2, ce qui donne :
I 0 = 25
0,2 = 11,18.
(1.22)
On en conclut que le seuil de d´ etection est I 0 = 11,18 kA et que les coups de foudre
dont l’amp´ erage est sous ce seuil ne sont pas d´ etect´ es.