11.2 Les transformations affines du plan
337
On a repr´ esent´ e l’image par des objets g´ eom´ etriques connus.
Pour un segment de droite, le plus ´ economique consiste ` a garder en m´ emoire les deux
extr´ emit´ es du segment et ` a cr´ eer un programme qui explique ` a l’ordinateur comment
tracer le segment joignant deux points. De mˆ eme, un arc de cercle est sp´ ecifi´ e par son
centre, son rayon et les angles de d´ ebut et de fin. Les objets g´ eom´ etriques utilis´ es pour
d´ ecrire l’image sont notre alphabet.
Comment peut-on garder en m´ emoire un paysage complexe ? On utilise le mˆ eme
principe avec un alphabet plus large :
• on approxime le paysage avec des fractales, par exemple la foug` ere de la figure 11.2 ;
• pour garder en m´ emoire la fractale, par exemple la foug` ere, on enregistre le programme qui permet de la dessiner. L’autosimilarit´ e de la foug` ere permet de la
tracer avec un programme de moins de 15 lignes. On trouvera un tel programme
` a la fin de la section 11.3.
Dans ce processus, la foug` ere est l’« attracteur » d’un op´ erateur W (d´ efini ci-dessous)
qui envoie un sous-ensemble du plan sur un sous-ensemble du plan. Partant de n’importe
quel sous-ensemble B 0 du plan, nous construirons par r´ ecurrence la suite B 1 = W (B 0 ),
B 2 = W (B 1 ), . . . , B n+1 = W (B n ) . . . Pour n assez grand (en fait n = 10 suffit si B 0
est bien choisi), B n ressemblera `
a s’y m´ eprendre ` a la foug` ere.
La m´ ethode peut sembler simpliste : peut-on vraiment programmer un ordinateur
pour qu’il approxime une photographie avec des fractales ? En fait, ce n’est comme cela
que nous passerons ` a la pratique, mais nous garderons l’id´ ee que l’image reconstruite
est l’attracteur d’un op´ erateur. Comme cette partie est plus avanc´ ee, elle n’est trait´ ee
qu’` a la fin du chapitre (section 11.7), alors que les premi` eres sections porteront sur la
construction de programmes permettant le tra¸ cage de fractales.
11.2 Les transformations affines du plan
Commen¸ cons par expliquer pourquoi nous avons besoin de transformations affines.
Regardons la foug` ere de la figure 11.2. Elle est la r´ eunion
• de la partie inf´ erieure de la tige et
• de trois foug` eres plus petites : la branche inf´ erieure gauche, la branche inf´ erieure
droite et la foug` ere moins les deux branches inf´ erieures.
Chacun de ces quatre morceaux est l’image de la grande foug` ere sous une transformation
affine. La donn´ ee de ces quatre transformations affines, soit
• la transformation T 1 qui envoie la grande foug` ere sur la foug` ere moins les deux
branches inf´ erieures ;
• la transformation T 2 qui envoie la grande foug` ere sur la petite foug` ere inf´ erieure
gauche (not´ ee G sur la figure) ;
• la transformation T 3 qui envoie la grande foug` ere sur la petite foug` ere inf´ erieure
droite (not´ ee D sur la figure) ;
• la transformation T 4 qui envoie la grande foug` ere sur la portion inf´ erieure de la
tige,
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On a repr´ esent´ e l’image par des objets g´ eom´ etriques connus.
Pour un segment de droite, le plus ´ economique consiste ` a garder en m´ emoire les deux
extr´ emit´ es du segment et ` a cr´ eer un programme qui explique ` a l’ordinateur comment
tracer le segment joignant deux points. De mˆ eme, un arc de cercle est sp´ ecifi´ e par son
centre, son rayon et les angles de d´ ebut et de fin. Les objets g´ eom´ etriques utilis´ es pour
d´ ecrire l’image sont notre alphabet.
Comment peut-on garder en m´ emoire un paysage complexe ? On utilise le mˆ eme
principe avec un alphabet plus large :
• on approxime le paysage avec des fractales, par exemple la foug` ere de la figure 11.2 ;
• pour garder en m´ emoire la fractale, par exemple la foug` ere, on enregistre le programme qui permet de la dessiner. L’autosimilarit´ e de la foug` ere permet de la
tracer avec un programme de moins de 15 lignes. On trouvera un tel programme
` a la fin de la section 11.3.
Dans ce processus, la foug` ere est l’« attracteur » d’un op´ erateur W (d´ efini ci-dessous)
qui envoie un sous-ensemble du plan sur un sous-ensemble du plan. Partant de n’importe
quel sous-ensemble B 0 du plan, nous construirons par r´ ecurrence la suite B 1 = W (B 0 ),
B 2 = W (B 1 ), . . . , B n+1 = W (B n ) . . . Pour n assez grand (en fait n = 10 suffit si B 0
est bien choisi), B n ressemblera `
a s’y m´ eprendre ` a la foug` ere.
La m´ ethode peut sembler simpliste : peut-on vraiment programmer un ordinateur
pour qu’il approxime une photographie avec des fractales ? En fait, ce n’est comme cela
que nous passerons ` a la pratique, mais nous garderons l’id´ ee que l’image reconstruite
est l’attracteur d’un op´ erateur. Comme cette partie est plus avanc´ ee, elle n’est trait´ ee
qu’` a la fin du chapitre (section 11.7), alors que les premi` eres sections porteront sur la
construction de programmes permettant le tra¸ cage de fractales.
11.2 Les transformations affines du plan
Commen¸ cons par expliquer pourquoi nous avons besoin de transformations affines.
Regardons la foug` ere de la figure 11.2. Elle est la r´ eunion
• de la partie inf´ erieure de la tige et
• de trois foug` eres plus petites : la branche inf´ erieure gauche, la branche inf´ erieure
droite et la foug` ere moins les deux branches inf´ erieures.
Chacun de ces quatre morceaux est l’image de la grande foug` ere sous une transformation
affine. La donn´ ee de ces quatre transformations affines, soit
• la transformation T 1 qui envoie la grande foug` ere sur la foug` ere moins les deux
branches inf´ erieures ;
• la transformation T 2 qui envoie la grande foug` ere sur la petite foug` ere inf´ erieure
gauche (not´ ee G sur la figure) ;
• la transformation T 3 qui envoie la grande foug` ere sur la petite foug` ere inf´ erieure
droite (not´ ee D sur la figure) ;
• la transformation T 4 qui envoie la grande foug` ere sur la portion inf´ erieure de la
tige,