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11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
`
A l’heure de la num´ erisation, on a besoin de mettre en m´ emoire un tr` es grand nombre
d’images. Il est donc imp´ eratif que chaque image n’occupe pas un trop grand espace
m´ emoire. C’est aussi une contrainte pour la navigation sur la Toile. Pour une image sur
la Toile, on n’a pas besoin de la mˆ eme r´ esolution que pour une photographie ou une
grande affiche sur un mur. On a mˆ eme int´ erˆ et ` a utiliser une moins bonne r´ esolution, car
les fichiers d’images ralentissent beaucoup la navigation. Pourtant, ce sont des fichiers
comprim´ es.
Il existe plusieurs techniques de compression d’images. La technique JPEG (Joint
Photographic Experts Group) fait appel aux transformations de Fourier discr` etes et est
trait´ ee dans le chapitre 12. Dans ce chapitre-ci nous nous concentrerons sur une autre
technique : la compression d’images `
a l’aide de syst` emes de fonctions it´ er´ ees.
Cette technique a suscit´ e ´ enorm´ ement d’espoir lorsqu’elle a ´ et´ e introduite dans les
ann´ ees 1980, et les recherches sur le sujet ont ´ et´ e abondamment subventionn´ ees. Elle
n’a pas r´ eussi `
a s’imposer ` a grande ´ echelle parce que la mise en pratique n’est pas
suffisamment performante. Mais la recherche n’a peut-ˆ etre pas dit son dernier mot.
Nous avons d´ ecid´ e de pr´ esenter cette m´ ethode pour plusieurs raisons. Tout d’abord, il
est facile d’y mettre en ´ evidence la d´ emarche de mod´ elisation math´ ematique qui utilise
le tr` es puissant th´ eor` eme du point fixe de Banach, le point fixe du th´ eor` eme ´ etant un
attracteur pour un op´ erateur. De plus, la m´ ethode utilise des fractales que l’on apprend
` a construire de mani` ere tr` es simple comme points fixes (attracteurs) d’un op´ erateur :
qu’un objet g´ eom´ etrique aussi complexe qu’une fractale puisse avoir une construction
simple est en soi une perc´ ee math´ ematique importante. Cela montre que, si on regarde
l’objet du bon point de vue, on voit sa simplicit´ e et on comprend sa structure.
Nous avons dit plus haut que la mani` ere la plus simple de garder une image en
m´ emoire est de noter la couleur de chaque pixel, mais c’est tr` es peu ´ economique. Comment faire mieux ? Supposons qu’on ait dessin´ e une ville (figure 11.1). On garde en
m´ emoire
• les segments de droite,
• les arcs de cercles,
• etc.
qui approximent notre image.
Fig. 11.1. Une ville
11 Compression d’images par fonctions it´ er´ ees
`
A l’heure de la num´ erisation, on a besoin de mettre en m´ emoire un tr` es grand nombre
d’images. Il est donc imp´ eratif que chaque image n’occupe pas un trop grand espace
m´ emoire. C’est aussi une contrainte pour la navigation sur la Toile. Pour une image sur
la Toile, on n’a pas besoin de la mˆ eme r´ esolution que pour une photographie ou une
grande affiche sur un mur. On a mˆ eme int´ erˆ et ` a utiliser une moins bonne r´ esolution, car
les fichiers d’images ralentissent beaucoup la navigation. Pourtant, ce sont des fichiers
comprim´ es.
Il existe plusieurs techniques de compression d’images. La technique JPEG (Joint
Photographic Experts Group) fait appel aux transformations de Fourier discr` etes et est
trait´ ee dans le chapitre 12. Dans ce chapitre-ci nous nous concentrerons sur une autre
technique : la compression d’images `
a l’aide de syst` emes de fonctions it´ er´ ees.
Cette technique a suscit´ e ´ enorm´ ement d’espoir lorsqu’elle a ´ et´ e introduite dans les
ann´ ees 1980, et les recherches sur le sujet ont ´ et´ e abondamment subventionn´ ees. Elle
n’a pas r´ eussi `
a s’imposer ` a grande ´ echelle parce que la mise en pratique n’est pas
suffisamment performante. Mais la recherche n’a peut-ˆ etre pas dit son dernier mot.
Nous avons d´ ecid´ e de pr´ esenter cette m´ ethode pour plusieurs raisons. Tout d’abord, il
est facile d’y mettre en ´ evidence la d´ emarche de mod´ elisation math´ ematique qui utilise
le tr` es puissant th´ eor` eme du point fixe de Banach, le point fixe du th´ eor` eme ´ etant un
attracteur pour un op´ erateur. De plus, la m´ ethode utilise des fractales que l’on apprend
` a construire de mani` ere tr` es simple comme points fixes (attracteurs) d’un op´ erateur :
qu’un objet g´ eom´ etrique aussi complexe qu’une fractale puisse avoir une construction
simple est en soi une perc´ ee math´ ematique importante. Cela montre que, si on regarde
l’objet du bon point de vue, on voit sa simplicit´ e et on comprend sa structure.
Nous avons dit plus haut que la mani` ere la plus simple de garder une image en
m´ emoire est de noter la couleur de chaque pixel, mais c’est tr` es peu ´ economique. Comment faire mieux ? Supposons qu’on ait dessin´ e une ville (figure 11.1). On garde en
m´ emoire
• les segments de droite,
• les arcs de cercles,
• etc.
qui approximent notre image.
Fig. 11.1. Une ville