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La compression d’images :
les syst` emes de fonctions it´ er´ ees
Ce chapitre peut ˆ etre trait´ e en une ou deux semaines de cours. Si on ne dispose que
d’une semaine, on traite bri` evement de l’alphabet d’images (section 11.1) et on explique en d´ etail l’id´ ee de l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees (section 11.3)
en se concentrant sur l’exemple du triangle de Sierpi´ nski (exemple 11.5). On d´ emontre
le th´ eor` eme sur la construction d’une transformation affine envoyant trois points du
plan sur trois plans du plan et on examine les transformations affines particuli` eres
auxquelles on recourt souvent dans la construction de syst` emes de fonctions it´ er´ ees
(section 11.2). On explique le th´ eor` eme du point fixe de Banach pour faire ressortir
que l’id´ ee de la preuve dans R se g´ en´ eralise telle quelle aux espaces m´ etriques complets
(section 11.4). On aborde la d´ efinition intuitive de la distance de Hausdorff (d´ ebut de
la section 11.5) et on ´ enonce le th´ eor` eme du collage de Barnsley (th´ eor` eme 11.17). Si
on d´ ecide de consacrer une deuxi` eme semaine au sujet, on peut alors faire quelques
preuves des propri´ et´ es de la distance de Hausdorff (section 11.5), voir la d´ efinition de
dimension fractale (section 11.6) et prendre toute une heure de cours pour ´ etudier la
construction du syst` eme de fonctions it´ er´ ees permettant la reconstruction d’une vraie
photographie (section 11.7). Les sections 11.5, 11.6 et 11.7 sont presque ind´ ependantes.
Il est donc possible de traiter une des sections 11.6 et 11.7 sans avoir trait´ e la section 11.5 qui est plus difficile.
Une autre option pour une semaine de cours est de couvrir les sections 11.1 `
a 11.4 en
se limitant dans cette derni` ere section ` a l’´ enonc´ e du th´ eor` eme du point fixe de Banach
et de sauter `
a la section 11.7 qui explique l’application de la m´ ethode `
a la compression
d’images.
11.1 Introduction
La mani` ere la plus simple de garder une image en m´ emoire est de noter la couleur de
chaque pixel. Une quantit´ e ´ enorme de m´ emoire est requise d` es que la taille des images
augmente et que le nombre d’images croˆ ıt !
La compression d’images :
les syst` emes de fonctions it´ er´ ees
Ce chapitre peut ˆ etre trait´ e en une ou deux semaines de cours. Si on ne dispose que
d’une semaine, on traite bri` evement de l’alphabet d’images (section 11.1) et on explique en d´ etail l’id´ ee de l’attracteur d’un syst` eme de fonctions it´ er´ ees (section 11.3)
en se concentrant sur l’exemple du triangle de Sierpi´ nski (exemple 11.5). On d´ emontre
le th´ eor` eme sur la construction d’une transformation affine envoyant trois points du
plan sur trois plans du plan et on examine les transformations affines particuli` eres
auxquelles on recourt souvent dans la construction de syst` emes de fonctions it´ er´ ees
(section 11.2). On explique le th´ eor` eme du point fixe de Banach pour faire ressortir
que l’id´ ee de la preuve dans R se g´ en´ eralise telle quelle aux espaces m´ etriques complets
(section 11.4). On aborde la d´ efinition intuitive de la distance de Hausdorff (d´ ebut de
la section 11.5) et on ´ enonce le th´ eor` eme du collage de Barnsley (th´ eor` eme 11.17). Si
on d´ ecide de consacrer une deuxi` eme semaine au sujet, on peut alors faire quelques
preuves des propri´ et´ es de la distance de Hausdorff (section 11.5), voir la d´ efinition de
dimension fractale (section 11.6) et prendre toute une heure de cours pour ´ etudier la
construction du syst` eme de fonctions it´ er´ ees permettant la reconstruction d’une vraie
photographie (section 11.7). Les sections 11.5, 11.6 et 11.7 sont presque ind´ ependantes.
Il est donc possible de traiter une des sections 11.6 et 11.7 sans avoir trait´ e la section 11.5 qui est plus difficile.
Une autre option pour une semaine de cours est de couvrir les sections 11.1 `
a 11.4 en
se limitant dans cette derni` ere section ` a l’´ enonc´ e du th´ eor` eme du point fixe de Banach
et de sauter `
a la section 11.7 qui explique l’application de la m´ ethode `
a la compression
d’images.
11.1 Introduction
La mani` ere la plus simple de garder une image en m´ emoire est de noter la couleur de
chaque pixel. Une quantit´ e ´ enorme de m´ emoire est requise d` es que la taille des images
augmente et que le nombre d’images croˆ ıt !