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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
produire des fr´ equences au del` a de l’extrˆ eme audible N max = 20 000 Hz. `
A cause
de l’´ echantillonnage, un son de fr´ equence N > N max est per¸ cu comme un son d’une
fr´ equence entre 0 et N max . (Voir la figure 10.15 o` u les points de l’´ echantillonnage
ont l’air d’appartenir `
a une sinuso¨ ıde de plus petite fr´ equence.) Ce probl` eme est
connu, en anglais, sous le nom d’aliasing, car un alias est cr´ e´ e par l’´ echantillonnage entre des fr´ equences distinctes. Ce probl` eme apparaˆ ıt dans tous les domaines
o` u le spectre des fr´ equences est limit´ e. Par exemple, il apparaˆ ıt dans le domaine
de la photographie num´ eris´ ee, o` u il produit un aspect moir´ e ou un cr´ enelage des
contours. C’est pourquoi on traduit aliasing par cr´ enelage. Ce cr´ enelage est tr` es
semblable ` a l’effet cin´ ematographique suivant : dans les films, les rayons d’une
roue d’une voiture tournant dans le sens horaire peuvent sembler tourner dans le
sens anti horaire.
D´ eterminer la fr´ equence fantˆ ome N
du son per¸ cu apr` es ´ echantillonnage d’un
son de fr´ equence N > N max . (La fr´ equence fantˆ ome est telle que 0 ≤ N
≤ N max .)
15. Th´ eor` eme d’´ echantillonnage Cet exercice donne un exemple de reconstruction
d’une onde sonore f (t) `
a l’aide du th´ eor` eme 10.5. Supposons que nous d´ esirions
reproduire des ondes sonores dont le contenu en fr´ equence est restreint `
a l’intervalle
[−σ, σ] o` u σ = 6 Hz. Nous prendrons comme intervalle d’´ echantillonnage Δ =
1
2σ =
1
12 de seconde. La fonction f (t) = cos 2πω 0 t devrait donc pouvoir ˆ etre reconstruite
` a l’aide de ses seules valeurs f (nΔ), n ∈ Z, si ω 0 ∈ [−σ, σ]. Prenons, par exemple,
ω 0 = 5,5 Hz.
a) `
A l’aide d’un logiciel, tracer le graphe de f (t) sur l’intervalle t ∈ [0, 1].
b) Tracer le graphe de la fonction sinc t, d´ efinie en (10.17), sur l’intervalle t ∈
[−6, 6].
c) Tracer le graphe de la somme partielle
N
n=M
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
sur l’intervalle t ∈ [0, 1] et le comparer avec le graphe obtenu en a). Commencer
par un petit nombre de termes, par exemple M = 0 et N = 11. Augmenter le
Fig. 10.15. Le ph´ enom` ene de cr´ enelage vu sur un exemple simple (voir l’exercice 14)
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
produire des fr´ equences au del` a de l’extrˆ eme audible N max = 20 000 Hz. `
A cause
de l’´ echantillonnage, un son de fr´ equence N > N max est per¸ cu comme un son d’une
fr´ equence entre 0 et N max . (Voir la figure 10.15 o` u les points de l’´ echantillonnage
ont l’air d’appartenir `
a une sinuso¨ ıde de plus petite fr´ equence.) Ce probl` eme est
connu, en anglais, sous le nom d’aliasing, car un alias est cr´ e´ e par l’´ echantillonnage entre des fr´ equences distinctes. Ce probl` eme apparaˆ ıt dans tous les domaines
o` u le spectre des fr´ equences est limit´ e. Par exemple, il apparaˆ ıt dans le domaine
de la photographie num´ eris´ ee, o` u il produit un aspect moir´ e ou un cr´ enelage des
contours. C’est pourquoi on traduit aliasing par cr´ enelage. Ce cr´ enelage est tr` es
semblable ` a l’effet cin´ ematographique suivant : dans les films, les rayons d’une
roue d’une voiture tournant dans le sens horaire peuvent sembler tourner dans le
sens anti horaire.
D´ eterminer la fr´ equence fantˆ ome N
du son per¸ cu apr` es ´ echantillonnage d’un
son de fr´ equence N > N max . (La fr´ equence fantˆ ome est telle que 0 ≤ N
≤ N max .)
15. Th´ eor` eme d’´ echantillonnage Cet exercice donne un exemple de reconstruction
d’une onde sonore f (t) `
a l’aide du th´ eor` eme 10.5. Supposons que nous d´ esirions
reproduire des ondes sonores dont le contenu en fr´ equence est restreint `
a l’intervalle
[−σ, σ] o` u σ = 6 Hz. Nous prendrons comme intervalle d’´ echantillonnage Δ =
1
2σ =
1
12 de seconde. La fonction f (t) = cos 2πω 0 t devrait donc pouvoir ˆ etre reconstruite
` a l’aide de ses seules valeurs f (nΔ), n ∈ Z, si ω 0 ∈ [−σ, σ]. Prenons, par exemple,
ω 0 = 5,5 Hz.
a) `
A l’aide d’un logiciel, tracer le graphe de f (t) sur l’intervalle t ∈ [0, 1].
b) Tracer le graphe de la fonction sinc t, d´ efinie en (10.17), sur l’intervalle t ∈
[−6, 6].
c) Tracer le graphe de la somme partielle
N
n=M
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
sur l’intervalle t ∈ [0, 1] et le comparer avec le graphe obtenu en a). Commencer
par un petit nombre de termes, par exemple M = 0 et N = 11. Augmenter le
Fig. 10.15. Le ph´ enom` ene de cr´ enelage vu sur un exemple simple (voir l’exercice 14)