10.5 Exercices
329
Fig. 10.14. Le spectre de la premi` ere note de Rhapsody in Blue. Les fr´ equences des maxima
locaux sont donn´ ees (voir l’exercice 10).
mˆ eme intensit´ e mais avec des fr´ equences l´ eg` erement diff´ erentes, le son per¸ cu
varie en intensit´ e au cours du temps : son amplitude augmente et diminue
p´ eriodiquement. Cette oscillation peut ˆ etre lente (une fois toutes les quelques
secondes) ou rapide (plusieurs fois par seconde).
a) Deux flˆ utes ´ emettent des sons f 1 et f 2 de fr´ equences respectives ω 1 et ω 2 :
f 1 = sin(ω 1 t)
et
f 2 (t) = sin(ω 2 t).
(On n´ eglige les harmoniques que l’on suppose faibles.) La r´ esultante entendue est
f = f 1 + f 2 . Montrer que l’on peut ´ ecrire f sous la forme
f (t) = 2 sin αt cos βt
et d´ eterminer α et β en fonction de ω 1 et ω 2 .
b) Supposons que ω 1 soit la fr´ equence du mi du temp´ erament ´ egal (659,26 Hz)
et ω 2 , celle du mi juste (660 Hz). Montrer que l’oreille percevra f comme un son
de fr´ equence voisine de 660 Hz dont l’amplitude s’´ eteindra tous les
4
3 de seconde
environ. C’est le ph´ enom` ene de battement d´ ecrit ci-dessus.
14. Cr´ enelage La pr´ esentation de ce chapitre ignore une difficult´ e d’origine math´ ematique que les ing´ enieurs doivent r´ esoudre. Nous avons montr´ e que l’´ echantillonnage tous les Δ =
1
44 100 de seconde permet de reproduire correctement
tout le spectre audible. Le probl` eme est que les instruments de musique peuvent
329
Fig. 10.14. Le spectre de la premi` ere note de Rhapsody in Blue. Les fr´ equences des maxima
locaux sont donn´ ees (voir l’exercice 10).
mˆ eme intensit´ e mais avec des fr´ equences l´ eg` erement diff´ erentes, le son per¸ cu
varie en intensit´ e au cours du temps : son amplitude augmente et diminue
p´ eriodiquement. Cette oscillation peut ˆ etre lente (une fois toutes les quelques
secondes) ou rapide (plusieurs fois par seconde).
a) Deux flˆ utes ´ emettent des sons f 1 et f 2 de fr´ equences respectives ω 1 et ω 2 :
f 1 = sin(ω 1 t)
et
f 2 (t) = sin(ω 2 t).
(On n´ eglige les harmoniques que l’on suppose faibles.) La r´ esultante entendue est
f = f 1 + f 2 . Montrer que l’on peut ´ ecrire f sous la forme
f (t) = 2 sin αt cos βt
et d´ eterminer α et β en fonction de ω 1 et ω 2 .
b) Supposons que ω 1 soit la fr´ equence du mi du temp´ erament ´ egal (659,26 Hz)
et ω 2 , celle du mi juste (660 Hz). Montrer que l’oreille percevra f comme un son
de fr´ equence voisine de 660 Hz dont l’amplitude s’´ eteindra tous les
4
3 de seconde
environ. C’est le ph´ enom` ene de battement d´ ecrit ci-dessus.
14. Cr´ enelage La pr´ esentation de ce chapitre ignore une difficult´ e d’origine math´ ematique que les ing´ enieurs doivent r´ esoudre. Nous avons montr´ e que l’´ echantillonnage tous les Δ =
1
44 100 de seconde permet de reproduire correctement
tout le spectre audible. Le probl` eme est que les instruments de musique peuvent